- научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
- научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
- освоить методы построения этих сечений
- формировать познавательную активность, умения логически мыслить;
- создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.
Тип урока: Формирование новых знаний.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний учащихся
Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)
Слово учителя
Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) . Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра . Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.
На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.
Актуализация опорных понятий
- Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).
- Второе правило . Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
- Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).
- Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
- Пятое правило . Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A 1 и B 1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A 1 B 1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A 1 B 1 . Если же прямые АВ и A 1 B 1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).
III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)
Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4)
Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.
Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:
Решение.
- КМ = α ∩ АДС
- МЕ = α ∩ ВДС
- Х = КМ ∩ АС
- Р = ХЕ ∩ АВ
- РЕ = α ∩ АВС
- КР = α ∩ АДВ
- КМЕР – искомое сечение
Задача 2. (слайд 5)
Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД
Проанализируем этот рисунок. Здесь нет точек, лежащих в одной грани. В это случае воспользуемся правилом 5. Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М 1 , N→А. Находим пересечение прямых NM и AM 1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ 1 . Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.
Решение
- М → М 1 N → А
- Х = NМ ∩ АМ 1
- L = КХ ∩ ВС
- H = КХ ∩ АВ
- НL = α ∩ АВC, К є НL
- НN = α ∩ АВД,
- LQ = α ∩ ВДС, М є LQ
- NQ = α ∩ АДС
- HNQL – искомое сечение
IV. Закрепление знаний
Работа с анимационным объектом «Построение сечения тетраэдра с плоскостью» (диск «Уроки геометрии в 10 классе» урок №16)
Решение задачи с последующей проверкой
Задача 3. (слайд 6)
Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС, М є АДВ, N є ВДС.
Решение
- 1. М → М 1 , N → N 1
- Х = NМ ∩ N 1 М 1
- R = КХ ∩ АВ
- RL = α ∩ АВД, М є RL
- КР = α ∩ ВДС, N є КР
- LP = α ∩ АДС
- RLPK – искомое сечение
V. Самостоятельная работа (по вариантам)
(слайд 7)
Задача 4. N є АС, К є АД.
Решение
- КМ = α ∩ АВД,
- МN = α ∩ АВС,
- КN = α ∩ АДС
- KMN – искомое сечение
Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.
Решение
- MN = α ∩ АВД
- NK = α ∩ ВДС
- Х = NК ∩ ВС
- Р = АС ∩ МХ
- РК = α ∩ АДС
- MNKP – искомое сечение
Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС
Решение
- KN = α ∩ ДВС
- Х = КN ∩ ВС
- Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
- РТ = α ∩ АВС, М є РТ
- PN = α ∩ АДС
- ТР N K – искомое сечение
VI. Итог урока.
(слайд 8)
Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.
VII. Домашнее задание.
(слайд 9)
Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание).
Урок по теме:
«Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»
Цели урока
1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.
2. Выделить виды задач на построение сечений.
3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.
4. Формирование пространственного воображения.
Ход урока.
II Проверка домашнего задания.
Ребята, какие геометрические тела мы изучали на последних уроках? (тетраэдр, параллелепипед).
Что называется тетраэдром?
Что называется параллелепипедом?
А теперь проверим устное домашнее задание.
В учебнике на стр. 31 читаем и отвечаем на вопросы 14,15.
14. Существует ли тетраэдр у которого пять углов граней прямые?
(Нет, так как в четырёх треугольниках, образующих, может быть только четыре прямых угла, по одному в каждом не более).
15. Существует ли параллелепипед, у которого:
а ) Только одна грань прямоугольник. (Нет, так как противоположные грани параллелепипеда равны).
б ) Только две смежные грани ромбы. (Нет, ромбами могут быть только противоположные грани).
в ) Все углы грани острые. (Нет, у параллелограмма есть как острые, так и тупые углы, а каждая грань параллелограмм).
г ) Все углы грани прямые. (Да, в прямоугольном параллелепипеде).
д ) Число всех острых углов грани не равно числу всех тупых углов грани. (Нет, острых и тупых углов поровну в каждой грани).
III Объяснение новой темы.
Теперь переходим к новой теме. Запишите тему урока. Цель сегодняшнего урока:
1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.
2. Выделить виды задач на построение сечений.
3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.
4. Формирование пространственного воображения.
Итак, для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.
Что же мы будем понимать под секущей плоскостью ? В учебнике на стр. 27 найдём ответ на этот вопрос.
Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Следующее понятие – это сечение. И снова за помощью обращаемся к учебнику. А теперь посмотрите, как выглядит точное определение сечения.
v Где располагаются стороны многоугольника, который является сечением?
v Где располагаются вершины многоугольника, который является сечением?
А теперь ответим на вопрос. Что значит построить сечение многогранника плоскостью. Таким образом, мы в каждой грани будем строить отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани.
Чтобы грамотно построить сечение надо уметь применять различные теоремы и свойства. Ответим на вопрос.
Какие из данных утверждений могут пригодиться при построении сечений?
1. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.
2. Если прямая, лежащая, в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает линию пересечения плоскостей.
3. Если две параллельные плоскости, пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.
4. Секущая, плоскость пересекает грань многогранника по ломаной линии.
5. В сечении параллелепипеда плоскостью, может получиться:
v отрезок
v треугольник
v четырёхугольник
v пятиугольник
v шестиугольник
v Семиугольник
А теперь вспомним способы задания плоскости:
При построении сечений важно знать:
https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">
https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">
Теперь в учебнике рассмотрим основные задачи на построение сечений. И так, задача первая, где необходимо построить сечение тетраэдра по трём точкам, принадлежащим секущей, плоскости, причём две из них лежат в одной плоскости, а третья лежит в другой плоскости.
.jpg" width="588" height="359 src=">
Решение задач. Проверка правильности решения с помощью слайдов.
V Итог урока.
Представьте ситуацию:
Ваш одноклассник заболел и пропустил уроки, на которых проходили тему «Построение сечений многогранников». Вам нужно по телефону объяснить эту тему. Сформулируйте пошаговый алгоритм.
https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">
А сейчас я проведу тестирование. Вам необходимо выполнить три задания в течение трёх минут. Выберите и выпишите номер рисунков, на которых изображено верные сечения тетраэдра и параллелепипеда, а так же верный рисунок.
VI
Домашнее задание
. n.14, вопрос 16, № 000,106. Придумать и решить одну задачу на построение сечения тетраэдра или параллелепипеда.
На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдра
А,
B
,
C
,
D
- вершины тетраэдра
.
AB
,
AC
,
AD
,
BC
,
BD
,
CD
- ребра тетраэдра
.
ABC
,
ABD
,
BDC
,
ADC
- грани тетраэдра
.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение
:
Рассмотрим грань тетраэдра D
ВС
. В этой грани точки N
и P
принадлежат грани D
ВС
, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P
принадлежат секущей плоскости. Значит, NP
- это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D
ВС
и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP
и ВС
не параллельны. Они лежат в одной плоскости D
ВС.
Найдем точку пересечения прямых NP
и ВС
. Обозначим ее Е
(Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .
Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .
Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Секущая плоскость φ
параллельна плоскости АВС
по условию, значит, эта плоскость φ
параллельна прямым АВ
, АС
, ВС
.
В плоскости АВ
D
через точку М
проведем прямую PQ
параллельно АВ
(рис. 5). Прямая PQ
лежит в плоскости АВ
D
. Аналогично в плоскости АС
D
через точку Р
проведем прямую РR
параллельно АС
. Получили точку R
. Две пересекающиеся прямые PQ
и РR
плоскости РQR
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ
и АС
плоскости АВС
, значит, плоскости АВС
и РQR
параллельны. РQR
- искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D
МN
. Пусть прямая D
М
пересекает прямую АВ в точке К
(Рис. 7.). Тогда, СК
D
- это сечение плоскости D
МN
и тетраэдра. В плоскости D
МN
лежит и прямая NM
, и полученная прямая СК
. Значит, если NM
не параллельна СК
, то они пересекутся в некоторой точке Р
. Точка Р
и будет искомая точка пересечения прямой NM
и плоскости АВС
.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN
не параллельна плоскости АВС
. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN
и плоскости АВС
. Это точка К
, она получена с помощью вспомогательной плоскости D
МN
, т.е. мы проводим D
М
и получаем точку F
. Проводим СF
и на пересечении MN
получаем точку К
.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР
. Прямая КР
лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС
. Получаем точки Р 1
и Р 2
. Соединяем Р 1
и М
и на продолжении получаем точку М 1
. Соединяем точку Р 2
и N
. В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1
. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN
параллельна плоскости АВС
. Плоскость МNР
проходит через прямую МN
параллельную плоскости АВС
и пересекает плоскость АВС
по некоторой прямой Р 1 Р 2
, тогда прямая Р 1 Р 2
параллельна данной прямой MN
(Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)
2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики
Дополнительные веб-ресурсы
2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().
3. Фестиваль педагогических идей ().
Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50
2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .
3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.
4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?
Тип урока:
Урок изучения нового материала.
Вид урока:
Урок с применением ИКТ.
Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;
Раздаточный материал: карточки с заданиями.
Интерактивная доска;
Ноутбук;
Презентация, выполненная в программе PowerPoint;
Рисунки, выполненные в программе Paint;
Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Классная работа. Тема урока: Построение сечений тетраэдра. 29.10.
А В С Д ТЕТРАЭДР - ДАВС Тетраэдр « tetra »- четыре, « hedra »- грань.
Цель урока: Задачи урока: Формирование умения строить сечения тетраэдра с плоскостью, проходящей через три заданные точки. Обучающие: - ввести определение секущей плоскости и сечения тетраэдра плоскостью; - сформулировать алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости; - сформулировать алгоритм построения сечение тетраэдра плоскостью. Развивающие: - продолжить формирование пространственного воображения и математической речи; - развивать аналитическое мышление при выработке алгоритма построения точки пересечения прямой и плоскости и сечение многогранников. Воспитывающие: - вырабатывать умение осознанно трудиться над поставленной целью; - воспитание культуры общения.
Аксиомы и теоремы стереометрии. 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. 2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 4. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 5. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. А Б В Г Д
Задание: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью М NK .
2. Задание: Построить прямые, проходящие через точки M , N , K .
Сечение A B C D M N K
А В С D M N K α
A B C D M N K Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. MK – след плоскости MNK на плоскости ABC MN - … NK - …
Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Четырехугольники Треугольники
Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . E F K L A B C D M 1. Проводим К F . 2. Проводим FE . 3. Продолжим EF , продол- жим AC . 5. Проводим MK . 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Правила 6. MK AB=L 4. EF AC = М
При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2 . Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.
Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . 1 способ 2 способ
Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Способ №1. Способ №2.
Проверьте правильность построения сечения. Объясните ошибку.
А В С D N K M X P T Проверь себя Решение 1. KN = α ∩ ДВС Х = К N ∩ ВС Т = МХ ∩ АВ Р = ТХ ∩ АС РТ = α ∩ АВС, М є РТ PN = α ∩ АДС ТР N K - искомое сечение
Точка М является внутренней точкой грани ВС D тетраэдра DABC . Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВ D . С D А В М К L N
Задание Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку R параллельно грани BCD . 2. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку S параллельно грани ABC . 3. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку T параллельно грани ACD . 4. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку M, параллельно грани ВС D .
А D B C S 2 . А D B C R 1 . А D B C T 3 . 4.
Домашнее задание Изучить п.14 2. № 73 (стр. 29) 3. Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.
Предварительный просмотр:
МБОУ «Кимовская средняя общеобразовательная школа
Спасского муниципального района
Республики Татарстан»
Тема урока :
«Построение сечений тетраэдра»
10 класс
Разработала
Мамонова Евгения Геннадьевна,
Учитель математики первой квалификационной категории
Октябрь, 2013г.
Образовательные задачи:
- обеспечить в ходе урока усвоение алгоритма решения задач на построение сечений тетраэдра.
- обеспечить усвоение понятий тетраэдра, систематизировать знания, связанные с аксиомами стереометрии, определениями, свойствами, понятием взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве.
- формировать навыки изображения рассматриваемых объектов на плоскости и “чтение” предлагаемых изображений, графической грамотности;
- формировать умения применять приемы сравнения, обобщения, умозаключения.
Развивающие задачи:
- развитие умения применять полученные знания по стереометрии на практике,
- формирование умения анализировать и обобщать знания в процессе решения задач на построение сечений тетраэдра.
- уметь выполнять различные вычисления, связанные с определением площади сечения.
Воспитательные задачи:
- воспитание осознанной потребности в знаниях,
- совершенствование учебных умений и навыков,
- воспитывать познавательный интерес к предмету через приобретение пространственного воображения и умения видеть красоту окружающего мира.
Тип урока:
Урок изучения нового материала.
Вид урока:
Урок с применением ИКТ.
Методы обучения:
Беседа;
Фронтальный опрос;
Иллюстративно-наглядный;
Практический;
Метод сравнения, обобщения.
Учебно-методическое оснащение:
Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;
Раздаточный материал: карточки с заданиями.
Материально-техническое оснащение:
Интерактивная доска;
Ноутбук;
Презентация, выполненная в программе PowerPoint;
Рисунки, выполненные в программе Paint;
Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.
Структура урока :
- Орг. момент (1 мин).
- Актуализация ранее приобретенных знаний (3 мин).
- Подготовка к восприятию нового материала (3 мин).
- Создание проблемной ситуации (3 мин).
- Объяснение нового материала (10 мин).
- Закрепление изученного материала (5 мин).
- Самостоятельная работа с последующей проверкой (3 мин).
- Практикум (5 мин).
- Решение задачи (8 мин)
- Это интересно (1 мин).
- Постановка домашнего задания (1 мин).
- Подведение итогов урока, рефлексия (2 мин).
Ход урока:
Этапы урока | Деятельность учителя | Деятельность обучающихся | Время |
1.Орг. момент | Здравствуйте, ребята. Садитесь. " Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия". (Слайд №2) Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале ХХ века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет вам эта наука. Поэтому я предлагаю вам с еще большим усердием заняться изучением геометрии. | Приветствуют учителя. Садятся. | 1 мин |
2.Актуализация ранее приобретенных знаний | Устная работа. Вопросы: С каким многогранником мы познакомились на прошлом уроке? Дайте определение тетраэдра. (Слайд №3) Покажите элементы тетраэдра на модели. Тема сегодняшнего урока «Построение сечений тетраэдра» (Слайд №4). Запишите тему в тетрадях. Нам предстоит узнать какая плоскость называется секущей, способы и методы построения сечений, научиться строить сечения тетраэдра (Слайд №5). В течение урока вы будете работать с конспектами и строить сечения тетраэдра в них. | С тетраэдром. Поверхность, составленная из четырех треугольников, называется тетраэдром. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Одну из граней тетраэдра называют основанием, а три другие – боковыми гранями. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Записывают число и тему урока в тетради. | 3 мин |
3.Подготовка к восприятию нового материала | Для этого нам нужно вспомнить несколько аксиом и теорем. Задание: Соотнести чертеж с формулировкой теоремы или аксиомы. (Слайд 6) | Формулируют аксиомы и теоремы, соотносят их с рисунками. Ответ: Д-1 В-2 Б-3 А-4 Г-5 | 3 мин |
4. Создание проблемной ситуации. | 1. Задание: (Слайд 7) Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью МNK. Вопросы: Какой плоскости принадлежит прямая АВ? Постройте ее. Каким плоскостям принадлежит прямая MN? Продолжите ее. Вы получили точку пересечения прямых АВ и MN. Обозначьте ее. Какой плоскости принадлежит эта точка? Сделайте вывод. 2. Задание: (Слайд 8) Построить прямые, проходящие через точки M, N, K. Какая фигура получается при пересечении прямых? Какой особенностью обладает данный треугольник? | Записывают задание в тетрадь : Отвечают на вопросы: АВ є MDN. MN = MDN ∩ MКN. Р = MN ∩ АВ Р є MКN Р = АВ ∩ МNK. Строят прямые MK, KN, MN. Аргументируют свой ответ. При пересечении прямых получается треугольник MNK. Треугольник делит тетраэдр на две части. Каждая сторона треугольника принадлежит грани многогранника. | 3 мин |
5. Объяснение нового материала. | Итак, мы с вами построили сечение тетраэдра. Треугольник, образованный прямыми MK, MN, KN, называется сечением (Слайд 9 ), а плоскость MKN – секущей. (Слайд 10) Каковы особенности секущей плоскости? (Слайд 9,10) Основные понятия (Слайд 11 ) При построении сечения мы использовали метод следов. (Слайд 12) Сейчас вы вспомните, как мы построили сечение и сформулируете алгоритм построения сечений методом следов. Проверим алгоритмы. Какие многоугольники могут получить в сечении тетраэдра? (Слайд 13) Решение задачи. (Слайд 14) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через сторону основания тетраэдра и данную точку на противолежащем ребре. Построение сечения, проходящего через точки E, F, K. (Слайд 15, 16) Как расположены точки E, F, K. Какие прямые можно построить? Для построения сечения нам нужна дополнительная точка. EF ∩ AC =М. Проводим МК. MK ∩ AB = L. Проводим EL. EFKL – искомое сечение. | 1.Это плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. 2.Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Читают определение следа. Продолжают фразы. Алгоритм. 1.Отыскать в одной грани две точки сечения. 2.Построить след сечения на плоскости тетраэдра. 3.Повторить п.1-2 еще 2 раза. 4.Заштриховать полученное сечение. Конспектируют Треугольники и четырехугольники. E, F є ADC, F, K є BDC. Можно построить прямые КF, FЕ. | 10 мин |
6. Закрепление изученного материала. | Построение сечений на интерактивной доске. Два способа. (Слайд 17) Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. (Слайд 18) Каким условием мы должны дополнить наш алгоритм, чтобы построить сечение методом следов. Подумайте и допишите алгоритм. Проверим. Задание: Проверьте правильность построения сечения. Объясните ошибку. (Слайд 19) | Строят сечения тетраэдра двумя способами. Найти дополнительную точку сечения на ребре тетраэдра Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую Отметить точки пересечения прямой с ребрами грани. Ошибки: 1.Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам (в грани АВК такого отрезка нет, а в грани ВКС – таких отрезков 2) 2. Сечением тетраэдра не могут быть пятиугольники. | 5 мин |
7.Самостоятельная работа с последующей проверкой | (Слайд 20) | Выполняют самостоятельную работу (-Если возникнут проблемы, можете посоветоваться с товарищем по парте) | 3 мин |
8.Практикум | Еще один метод, применяемый при построении сечений – это метод параллельных прямых. Задание: (Слайд 21 ) Точка М является внутренней точкой грани ВСД тетраэдра ДАВС. Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВД. Вспомните название метода и предложите способ построения сечения. Решение. Т.к. секущая плоскость параллельна плоскости АВД, то она параллельна прямым АД, АВ, ДВ. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника АВД. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку ВД, и обозначим буквами L и N точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами ДВ и ДС. Затем через точку L проведем прямую, параллельную отрезку АС, и обозначим буквой К точку пересечения этой прямой с ребром АС. Треугольник LKN – искомое сечение. Задание . Построить сечение на интерактивной доске Задание: (Слайд 22) Построить сечения. Сверим ответы (Слайд 23) | 5 мин |
|
9 Решение задачи | Приложение 1 | 8 мин |
|
10.Это интересно | Сечение в рисунке, при моделировании одежды, в жизни. (Слайды 24-26) | 1 мин |
|
11.Постановка домашнего задания | Изучить п.14, №73 (стр. 29) (Слайд 27) Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра. | 1 мин |
|
12. Рефлексия, итог урока |
(Слайд 29) | 2 мин |
, слайды 1-2)
научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
освоить методы построения этих сечений
формировать познавательную активность, умения логически мыслить;
создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.
Тип урока: Формирование новых знаний.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний учащихся
Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)
Слово учителя
Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) . Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра . Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.
На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.
Актуализация опорных понятий
Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).
Второе правило . Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).
Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
Пятое правило . Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A 1 и B 1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A 1 B 1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A 1 B 1 . Если же прямые АВ и A 1 B 1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).
III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)
Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4)
Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.
Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:
Решение.
КМ = α ∩ АДС
МЕ = α ∩ ВДС
Х = КМ ∩ АС
Р = ХЕ ∩ АВ
РЕ = α ∩ АВС
КР = α ∩ АДВ
КМЕР – искомое сечение
Задача 2. (слайд 5)
Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД
Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М 1 , N→А. Находим пересечение прямых NM и AM 1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ 1 . Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.
Решение
М → М 1 N → А
Х = NМ ∩ АМ 1
L = КХ ∩ ВС
H = КХ ∩ АВ
НL = α ∩ АВC, К є НL
НN = α ∩ АВД,
LQ = α ∩ ВДС, М є LQ
NQ = α ∩ АДС
HNQL – искомое сечение
IV. Закрепление знаний
Решение задачи с последующей проверкой
Задача 3. (слайд 6)
Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС, М є АДВ, N є ВДС.
Решение
1. М → М 1 , N → N 1
Х = NМ ∩ N 1 М 1
R = КХ ∩ АВ
RL = α ∩ АВД, М є RL
КР = α ∩ ВДС, N є КР
LP = α ∩ АДС
RLPK – искомое сечение
V. Самостоятельная работа (по вариантам)
(слайд 7)
Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД.
Решение
КМ = α ∩ АВД,
МN = α ∩ АВС,
КN = α ∩ АДС
KMN – искомое сечение
Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.
Решение
MN = α ∩ АВД
NK = α ∩ ВДС
Х = NК ∩ ВС
Р = АС ∩ МХ
РК = α ∩ АДС
MNKP – искомое сечение
Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС
Решение
KN = α ∩ ДВС
Х = КN ∩ ВС
Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
РТ = α ∩ АВС, М є РТ
PN = α ∩ АДС
ТР N K – искомое сечение
VI. Итог урока.
(слайд 8)
Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.
VII. Домашнее задание.
(слайд 9)
Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание