Решение задач по сопромату. Геометрические характеристики фигур. Координаты центра тяжести некоторых однородных тел Связь между координатным и векторным, координатным и естественным способами задания движения точки

6.1. Общие сведения

Центр параллельных сил
Рассмотрим две параллельные, направленные в одну сторону силы , и , приложенные к телу в точках А 1 и А 2 (рис.6.1). Эта система сил имеет равнодействующую , линия действия которой проходит через некоторую точку С . Положение точки С можно найти с помощью теоремы Вариньона:

Если повернуть силы и около точек А 1 и А 2 в одну сторону и на один и тот же угол, то получим новую систему параллельных сал, имеющих те же модули. При этом их равнодействующая будет также проходить через точку С . Такая точка называется центром параллельных сил.
Рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил , приложенных к твердому телу в точках . Эта система имеет равнодействующую .
Если каждую силу системы повернуть около точек их приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то получатся новые системы одинаково направленных параллельных сил с теми же модулями и точками приложения. Равнодействующая таких систем будет иметь тот же модуль R , но всякий раз другое направление. Сложив силы F 1 и F 2 найдем что их равнодействующая R 1 , которая всегда будет проходить через точку С 1 , положение которой определяется равенством . Сложив далее R 1 и F 3 , найдем их равнодействующую, которая всегда будет проходить через точку С 2 , лежащую на прямой А 3 С 2 . Доведя процесс сложения сил до конца придем к выводу, что равнодействующая всех сил действительно всегда будет проходить через одну и ту же точку С , положение которой по отношению к точкам будет неизменным.
Точка С , через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около точек их приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол называется центром параллельных сил (рис. 6.2).

Рис.6.2

Определим координаты центра параллельных сил. Поскольку положение точки С по отношению к телу является неизменным, то ее координаты от выбора системы координат не зависят. Повернем все силы около их приложения так, чтобы они стали параллельны оси Оу и применим к повернутым силам теорему Вариньона. Так как R" является равнодействующей этих сил, то, согласно теореме Вариньона, имеем , т.к. , , получим

Отсюда находим координату центра параллельных сил zc :

Для определения координаты xc составим выражение момента сил относительно оси Oz .

Для определения координаты yc повернем все силы, чтобы они стали параллельны оси Oz .

Положение центра параллельных сил относительно начала координат (рис. 6.2) можно определить его радиусом-вектором:

6.2. Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка С , через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести данного тела, при любом положении тела в пространстве.
Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике - при использовании правила Верещагина.
Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.
Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:

где Р - вес всего тела; pk - вес частиц тела; xk , yk , zk - координаты частиц тела.
Для однородного тела вес всего тела и любой её части пропорционален объёму P=Vγ , pk =vk γ , где γ - вес единицы объёма, V - объем тела. Подставляя выражения P , pk в формулы определения координат центра тяжести и, сокращая на общий множитель γ , получим:

Точка С , координаты которой определяются полученными формулами, называется центром тяжести объема .
Если тело представляет собой тонкую однородную пластину, то центр тяжести определяется формулами:

где S - площадь всей пластины; sk - площадь её части; xk , yk - координаты центра тяжести частей пластины.
Точка С в данном случае носит название центра тяжести площади .
Числители выражений, определяющих координаты центра тяжести плоских фигур, называются статическими моментами площади относительно осей у и х :

Тогда центр тяжести площади можно определить по формулам:

Для тел, длина которых во много раз превышает размеры поперечного сечения, определяют центр тяжести линии. Координаты центра тяжести линии определяют формулами:

где L - длина линии; lk - длина ее частей; xk , yk , zk - координата центра тяжести частей линии.

6.3. Способы определения координат центров тяжести тел

Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия . Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии.
Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ, то центр тяжести лежит в этой плоскости.
2. Разбиение . Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).

Пример . Определить центр тяжести пластины, изображенной на помещенном ниже рисунке (рис. 6.3). Пластину можно разбить на прямоугольники различным способом и определить координаты центра тяжести каждого прямоугольника и их площади.

Рис.6.3

Ответ: x c =17.0см; y c =18.0см.

3. Дополнение . Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.

Пример . Определить центр тяжести круглой пластины имеющий вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6.4).

Рис.6.4

Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины. Площадь пластины без выреза , площадь выреза . Площадь пластины с вырезом ; .
Пластина с вырезом имеет ось симметрии О1 x , следовательно, yc =0.

4. Интегрирование . Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид: .
Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:

Формулы для определения координат центра тяжести площади:

Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.

Пример . Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2α (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Дуга окружности симметрична оси Ох , следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох , yс = 0.
Согласно формуле для центра тяжести линии:

6. Экспериментальный способ . Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 6.6).

Рис.6.6

Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.

6.4. Центры тяжести некоторых простейших геометрических фигур

Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треуголника, дуги окружности, сектора, сегмента) удобно использовать справочные данные (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Координаты центра тяжести некоторых однородных тел

№	Наименование фигуры	Рисунок
	Дуга окружности : центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc =0). R - радиус окружности.
	Однородный круговой сектор уc =0). где α - половина центрального угла; R - радиус окружности.
	Сегмент : центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc =0). где α - половина центрального угла; R - радиус окружности.
	Полукруг :
	Треугольник : центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан. где x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 - координаты вершин треугольника
	Конус : центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса.

В инженерной практике случается, что возникает необходимость вычислить координаты центра тяжести сложной плоской фигуры, состоящей из простых элементов, для которых расположение центра тяжести известно. Такая задача является частью задачи определения...

Геометрических характеристик составных поперечных сечений балок и стержней. Часто с подобными вопросами приходится сталкиваться инженерам-конструкторам вырубных штампов при определении координат центра давления, разработчикам схем погрузки различного транспорта при размещении грузов, проектировщикам строительных металлических конструкций при подборе сечений элементов и, конечно, студентам при изучении дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов».

Библиотека элементарных фигур.

Для симметричных плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.

Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.

Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.

Расчет в Excel координат центра тяжести составной фигуры.

Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках. Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.

Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a 1 =80 мм, b 1 =40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания a 2 =24 мм и высотой h 2 =42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x 03 =50 мм и y 03 =40 мм, радиусом r 3 =26 мм).

В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excel или программу OOo Calc . Любая из них легко справится с нашей задачей!

В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительные расчеты .

В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты .

Синий шрифт – это исходные данные .

Черный шрифт – это промежуточные результаты расчетов .

Красный шрифт – это окончательные результаты расчетов .

Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.

Исходные данные:

1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно

в ячейку D3: Прямоугольник

в ячейку E3: Треугольник

в ячейку F3: Полукруг

2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем

в ячейку D4: =80/2= 40,000

xc 1 = a 1 /2

в ячейку D5: =40/2=20,000

yc 1 = b 1 /2

в ячейку E4: =24/2=12,000

xc 2 = a 2 /2

в ячейку E5: =40+42/3=54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

в ячейку F4: =50=50,000

xc 3 = x 03

в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Рассчитаем площади элементов F 1 , F 2 , F 3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела «Библиотека элементарных фигур»

в ячейке D6: =40*80=3200

F 1 = a 1 * b 1

в ячейке E6: =24*42/2=504

F2 = a2 *h2 /2

в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062

F3 = -π/2*r3 ^2

Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!

Расчет координат центра тяжести:

4. Определим общую площадь итоговой фигуры F 0 в мм2

в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642

F 0 = F 1 + F 2 + F 3

5. Вычислим статические моменты составной фигурыSx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y

в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сеченияXc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y

в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640

Xc = Sy / F 0

в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883

Yc =Sx /F0

Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!

Заключение.

Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.

Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).

Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.

Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой .

Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике « ». Следите за новостями на блоге.

Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ прошу вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.

После ввода адреса своей электронной почты и нажатия на кнопку «Получать анонсы статей» НЕ ЗАБЫВАЙТЕ ПОДТВЕРЖДАТЬ ПОДПИСКУ кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (иногда - в папку « Спам» )!

Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!

Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!

Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.

Всегда рад вашим комментариям, уважаемые читатели!!!

Прошу, УВАЖАЯ труд автора, скачивать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Лекция 4. Центр тяжести.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы

1. Центр тяжести твердого тела.

2. Координаты центров тяжести неоднородных тел.

3. Координаты центров тяжести однородных тел.

4. Способы определения координат центров тяжести.

5. Центры тяжести некоторых однородных тел.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов».

Приведение параллельных сил.

После того как было рассмотрено приведение к центру плоской системы и произвольной пространственной системы сил, мы опять возвращаемся к рассмотрению частного случая системы параллельных сил.

Приведение двух параллельных сил.

В ходе рассмотрения такой системы сил возможны три следующих случая приведения.

1. Система двух коллинеарных сил. Рассмотрим систему двух параллельных и направленных в одну сторону сил P и Q , приложенных в точках А и В . Будем считать, что силы перпендикулярны к этому отрезку (рис.1,а ).

С , принадлежащую отрезку АВ и удовлетворяющую условию:

АС /СВ = Q /P .(1)

Главный вектор системы R C = P + Q по модулюравен сумме этих сил:R C = P + Q .

С с учетом (1) равен нулю: M C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0.

Таким образом, в результате приведения мы получили: R C ≠ 0, M C = 0. Это означает, что главный вектор эквивалентен равнодействующей, проходящей через центр приведения, то есть:

Равнодействующая коллинеарных сил равна по модулю их сумме, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внутренним образом.

Отметим, что положение точки С не изменится, если силы Р и Q повернуть на угол α . Точка С , обладающая таким свойством называется центром параллельных сил .

2. Система двух антиколлинеарных и не равных по модулю сил. Пусть силы P и Q , приложенные в точках А и В , параллельны, направлены в противоположные стороны и по модулю не равны (рис.1,б ).

Выберем в качестве центра приведения точку С , удовлетворяющую по-прежнему соотношению (1) и лежащую на той же прямой, но за пределами отрезка АВ .

Главный вектор этой системыR C = P + Q по модулю теперь будет равен разности модулей векторов:R C = Q - P .

Главный момент относительно центра С по-прежнему равен нулю: M C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = 0, поэтому

Равнодействующая антиколлинеарных и не равных по модулю сил равна их разности, направлена в сторону большей силы, а ее линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, обратно пропорционально модулям этих сил внешнимобразом.

Рис.1

3. Система двух антиколлинеарных и равных по модулю сил. Возьмем за исходный предыдущий случай приведения. Зафиксируем силу Р , а силу Q устремим по модулю к силеР .

Тогда при Q → Р в формуле (1) отношение АС /СВ → 1. Это означает, чтоАС → СВ , то есть расстояние АС →∞ .

При этом модуль главного вектора R C → 0, а модуль главного момента не зависит от положения центра приведения и остается равным первоначальному значению:

M C = P ∙ АС - Q ∙ СВ = P ∙ ( АС - СВ ) = P ∙ А B .

Итак, в пределе мы получили систему сил, для которой R C = 0, M C ≠ 0, а центр приведения удален в бесконечность, которую нельзя заменить равнодействующей. В этой системе нетрудно узнать пару сил, поэтому пара сил равнодействующей не имеет .

Центр системыпараллельных сил.

Рассмотрим систему n сил P i , приложенных в точках A i (x i , y i , z i )и параллельных оси Ov c ортом l (рис.2).

Если заранее исключить случай системы, эквивалентной паре сил, нетрудно на основании предыдущего параграфа доказать существование ее равнодействующей R .

Определим координаты центра C (x c , y c , z c ) параллельных сил, то есть координаты точки приложения равнодействующейэтой системы.

Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой:

M 0 (R ) = Σ M 0 (P i ).

Рис.2

Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, поэтому:

М 0 (R ) = r c × R = Σ М 0i (P i ) = Σ (r i × P i ).

Учитывая, что R = R v ∙ l , а P i = P vi ∙ l и воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим:

r c × R v ∙ l = Σ (r i × P vi ∙ l ),

r c ∙ R v × l = Σ (r i ∙ P vi × l ) = Σ (r i ∙ P vi ) × l ,

или:

[ r c R v - Σ (r i P vi )] × l = 0.

Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что равнодействующая R = Σ P i , отсюда получим:

r c = (Σ P i r i )/(Σ P i ).

Проектируя последнее векторное равенство на оси координат, получим искомое выражение координат центра параллельных сил :

x c = (Σ P i x i )/(Σ P i );

y c = (Σ P i y i )/(Σ P i );(2)

z c = (Σ P i z i )/(Σ P i ).

Центр тяжести тел.

Координаты центров тяжести однородного тела.

Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.

Если разбить тело на элементарные части объемом ∆ V i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆ P i , направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.3), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.

Рис.3

Определение . Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.

Напомним, что удельным весом элементарной части тела называется отношение ее веса ∆ P i к объему ∆ V i : γ i = ∆ P i / ∆ V i . Для однородного тела эта величина является постоянной: γ i = γ = P / V .

Подставляя в (2) ∆ P i = γ i ∙∆ V i вместо P i , учитывая последнее замечание и сокращая числитель и знаменатель на g , получим выражения координат центра тяжести однородного тела :

x c = (Σ ∆ V i ∙ x i )/(Σ ∆ V i );

y c = (Σ ∆ V i ∙ y i )/(Σ ∆ V i );(3)

z c = (Σ ∆ V i ∙ z i )/(Σ ∆ V i ).

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.

Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой точки с координатами . И координата по (3), будет равна нулю, т.к. в сумме все члены имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит центр тяжести расположен в плоскости симметрии.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для каждой точки с координатами можно отыскать точку с координатами и координаты и , вычисленные по формулам (3), окажутся равными нулю.

Аналогично доказывается и третья теорема.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

И ещё несколько замечаний.

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку, а в формулах (3) P i – определять как вес соответствующей части и – как координаты её центра тяжести.

Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а V i - объём этой части тела. И формулы (3) примут более удобный вид. Например,

И аналогично, где - объём всего тела.

Третье замечание. Пусть тело имеет вид тонкой пластинки площадью F и толщиной t , лежащей в плоскости Oxy . Подставляя в (3) ∆ V i = t ∙ ∆ F i , получим координаты центра тяжести однородной пластинки :

x c = (Σ ∆ F i ∙ x i ) / (Σ ∆ F i );

y c = (Σ ∆ F i ∙ y i ) / (Σ ∆ F i ).

z c = (Σ ∆ F i ∙ z i ) / (Σ ∆ F i ).

где – координаты центра тяжести отдельных пластин; – общая площадь тела.

Четвёртое замечание. Для тела в виде тонкого криволинейного стержня длиной L с площадью поперечного сечения a элементарный объем ∆ V i = a ∙∆ L i , поэтому координаты центра тяжести тонкого криволинейного стержня будут равны:

x c = (Σ ∆ L i ∙ x i )/(Σ ∆ L i );

y c = (Σ ∆ L i ∙ y i )/(Σ ∆ L i );(4)

z c = (Σ ∆ L i ∙ z i )/(Σ ∆ L i ).

где – координаты центра тяжести i -го участка; .

Отметим, что согласно определению центр тяжести - это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).

Примечание.

В этом разделе курса мы не делаем разницы между силой притяжения, силой тяжести и весом тела. В действительности сила тяжести представляет собой разность между силой притяжения Земли и центробежной силой, вызванной ее вращением.

Координаты центров тяжести неоднородных тел.

Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела (рис.4) в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Рис.4

где - вес единицы объема тела (удельный вес)

-вес всего тела.

неоднородную поверхность (рис.5), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Рис.5

где - вес единицыплощади тела,

-вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию (рис.6), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Рис.6

где - вес единицыдлины тела,

Вес всего тела.

Способы определения координат центра тяжести.

Исходя из полученных выше общих формул,можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел .

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.7

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.8

S =S 1 +S 2 .

3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки(без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .

Рис.9

S = S 1 - S 2 .

4. Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых однородных тел.

1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ , равная .

Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О , равном

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy , координаты вершин которого известны: A i (x i ,y i ), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А 1 А 2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А 3 М 3 (рис.11) .

Рис.11

Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А 2 А 3 , можно убедиться, что он должен лежать на медиане А 1 М 1 . Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан , которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

В частности, для медианы А 1 М 1 получим, учитывая, что координаты точки М 1 - это среднее арифметическое координат вершин А 2 иА 3 :

x c = x 1 + (2/3) ∙ (x М 1 - x 1 ) = x 1 + (2/3) ∙ [(x 2 + x 3 )/2 - x 1 ] = (x 1 + x 2 + x 3 )/3.

Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:

x c =(1/3) Σ x i ; y c =(1/3) Σ y i .

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2 α , расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .

Очевидно, что y c = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ . С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R × d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙ d φ , а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙ cosφ . Подставляя в (5) F = α R 2 , получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .

Подставляя в (2) α = π /2, получим: x c = (4 R )/(3 π ) ≅ 0,4 R .

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.

Рис.13

Решение. Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их:

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).

Рис.14

Решение. Координаты центров тяжести:

Площади:

Поэтому:

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.15). Найдем центр тяжести листа. Пример 4. Найти положение центра тяжести пластинки, представленной на рис. 16. Размеры даны в сантиметрах.

Рис.16

Решение. Разделим пластинку на фигуры (рис. 17), центры тяжести которых известны.

Площади этих фигур и координаты их центров тяжести:

1) прямоугольник со сторонами 30 и 40 см, S 1 =30 ∙ 40=1200 см 2 ; х 1 =15 см; у 1 =20 см.

2) прямоугольный треугольник с основанием 50 см и высотой 40 см; S 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40= 1000 см 2 ; х 2 =30+50/3=46,7 см;у 2 = 40/3 =13,3 см;

3) половина круга окружности радиуса r = 20 см; S 3 =0,5 ∙π∙ 20 2 =628 см 2 ; х 3 =4 R /3 π =8,5 см; у

Решение. Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ = ρ g , где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.

Рис.19

Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.

Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:

где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i - координаты его центра тяжести.

Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Первая группа состоит из первого стержня,для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

x c = (L 1 ∙ x 1 + L 2 ∙ x 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;

y c = (L 1 ∙ y 1 + L 2 ∙ y 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.

Отметим, что центр С лежит на прямой, соединяющей С 1 и С 2 и делит отрезок С 1 С 2 в отношении: С 1 С /СС 2 = (x c - x 1 )/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.

Вопросы для самопроверки

- Что называется центром параллельных сил?

- Как определяются координаты центра параллельных сил?

- Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?

- Каким свойством обладает центр параллельных сил?

- По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

- Что называется центром тяжести тела?

- Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

- Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

- Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?

- Что называют статическим моментом площади?

- Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.

- Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

- В чем состоит сущность способа отрицательных весов?

- Где расположен центр тяжести дуги окружности?

- Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

- Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.

- Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.

- По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

- Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?

- Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

- Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?

Центр тяжести треугольника. Воспользуемся способом разбиения и разделим треугольник АВС на элементарные полоски, проведя линии, параллельные стороне АС треугольника. Каждую такую полоску можно принять за прямоугольник; центры тяжести этих прямоугольников находятся в их серединах, т.е. на медиане BD треугольника. Следовательно, центр тяжести треугольника должен лежать на этой же медиане BD .

Разбивая теперь треугольник на элементарные полоски линиями, параллельными стороне АВ , заключаем, что центр тяжести треугольника должен быть расположен на медиане ЕС .

Следовательно, центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан . Эта точка, как известно, делит каждую из медиан на отрезки в отношении , т.е .

Центр тяжести трапеции. Аналогично предыдущему, разобьем трапецию ABCD на элементарные полоски, параллельные основаниям ВС и АD . Центры тяжести полосок расположатся на прямой KL , соединяющей середины оснований трапеции. Следовательно, и центр тяжести трапеции лежит на этой прямой. Для того, чтобы найти его расстояние от нижнего основания, разобьем трапецию на треугольники АВС и АСD . Для этих треугольников соответственно имеем , , , .

Используя формулу (8.20), получаем

Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АDВ окружности радиуса с центральным углом . Поместим начало координат в центре окружности и направим ось перпендикулярно хорде АВ .

Так как вследствие симметрии фигуры относительно оси центр тяжести будет лежать на этой оси , т.е. , то остается только найти абсциссу центра тяжести ; для этого воспользуемся формулой (8.18).

Согласно рис. имеем , , и, следовательно,

, (8.22) где – половина центрального угла в радианах.

В частности, для дуги полуокружности будем иметь

Центр тяжести кругового сектора. Для определения положения центра тяжести кругового сектора разобьем его на элементарные секторы, как показано на рис. Каждый элементарный сектор можно принять за равнобедренный треугольник с высотой, равной . Но высота в равнобедренном треугольнике является также и его медианой; следовательно, центр тяжести каждого элементарного треугольника лежит на расстоянии от начала координат О . Соответственно геометрическим местом центров тяжести всех элементарных треугольников является дуга окружности радиусом .

Это означает, что центр тяжести площади кругового сектора можно искать как центр тяжести материальной линии, по которой непрерывно и равномерно распределен вес этого сектора. Применив формулу (8.22), получим координату центра тяжести площади сектора

, (8.23) где – половина центрального угла в радианах. В частности, для сектора в виде полукруга получим

Задача 8.3. Пластина получена из квадрата, сторона которого равна , после того, как из него была вырезана часть, составляющая четверть круга радиуса с центром в вершине А квадрата. Определить центр тяжести пластины.

или, подставляя соответствующие величины,

Приведем без вывода формулы, определяющие положения центров тяжести некоторых простейших однородных тел.

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

Рис.7

Рис.8

3.Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S 1 и площади вырезанной части S 2 .

Рис.9

4.Метод группировки. Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.

Центры тяжести некоторых однородных тел.

Рис.10

Найдем координату по формуле . Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною , положение которого определяется углом . Координата х элемента ММ’ будет . Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L - длина дуги АВ , равная .

где угол измеряется в радианах.

Рис.11

x c = x 1 + (2/3)∙(x М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 + x 2 +x 3)/3.

x c =(1/3)Σx i ; y c =(1/3)Σy i .

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .

Рис.12

Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом d φ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R ×d φ и высотой R . Площадь такого треугольника dF =(1/2)R 2 ∙d φ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R ∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:

С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга .

Подставляя в (2) α = π/2, получим: x c = (4R )/(3π) ≅ 0,4R .

Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.

Рис.13

Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:

Объёмы их:

Поэтому координаты центра тяжести тела

Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).

Рис.14

Координаты центров тяжести:

Площади:

Рис. 6.5.

Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие см (рис.15). Найдем центр тяжести листа.

Рис.15

В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:

координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).

Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков одинаковой длины l .

Рис.16

Координаты центров тяжести участков:

Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:

Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).

Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g - ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.

Рис.17

где L i длина i -го стержня фермы, а x i , y i - координаты его центра тяжести.

Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.

Первая группа состоит из первого стержня, для нее L 1 = 4 м, x 1 = 0 м, y 1 = 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L 2 = 20 м, x 2 = 3 м, y 2 = 2 м.

Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:

x c = (L 1 ∙x 1 + L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;

y c = (L 1 ∙y 1 + L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.

Вопросы для самопроверки

Что называется центром параллельных сил?

Как определяются координаты центра параллельных сил?

Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?

Каким свойством обладает центр параллельных сил?

По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

Что называется центром тяжести тела?

Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?

Что называют статическим моментом площади?

Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.

Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

В чем состоит сущность способа отрицательных весов?

Где расположен центр тяжести дуги окружности?

Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.

Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.

По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?

Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?

Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?

Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?