ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)
Шотландский математик –
изобретатель логарифмов.
В 1590-х годах пришел к идее
логарифмических вычислений
и составил первые таблицы
логарифмов, однако свой знаменитый
труд “Описание удивительных таблиц логарифмов” опубликовал лишь в 1614 году.
Ему принадлежит определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов, синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.
Из истории логарифмов
- Логарифмы появились 350 лет назад в связи с потребностями вычислительной практики.
- В те времена для решения задач астрономии и мореплавания приходилось производить весьма громоздкие вычисления.
- Известный астроном Иоганн Кеплер первым ввел в1624 году знак логарифма – log. Он применил логарифмы для нахождения орбиты Марса.
- Слово « логарифм» - греческого происхождения, что в переводе означает – отношение чисел
0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b. " width="640"
Определение
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.
Вычислить:
log 2 16; log 2 64; log 2 2;
log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);
log 3 27; log 3 81; log 3 3;
log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);
log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;
Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.
Основное логарифмическое тождество
По определению логарифма
Вычислите:
3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;
5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;
10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;
8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .
3 X X X R Не существует ни при каком х " width="640"
При каких значениях х существует логарифм
Не существует ни при
каком х
1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
log a (bc) = log a b + log a c
( b
c )
a log a (bc) =
a log a b
= a log a b + log a c
a log a c
a log a b
a log a c
1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. log a (bc) = log a b + log a c
Пример:
log a
= log a b - log a c
= a log a b - log a c
a log a b
a log a
a log a c
b = a log a b
c = a log a c
0; a ≠ 1; b 0; c 0. Пример: 1 " width="640"
2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
log a
= log a b – log a c,
a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.
Пример:
0; b 0; r R log a b r = r log a b Пример a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r " width="640"
3. Логарифм степени с положительным основанием равен показателю степени, умноженному на логарифм основания
log a b r = r log a b
Пример
a log a b =b
(a log a b ) r =b r
a rlog a b =b r
Формула перехода от одного основания
логарифма к другому, примеры.
Определение производной. Средняя линия. Исследование функции на монотонность. Работы: Закрепление изученного материала. Вычислить приближенно с помощью дифференциала. Наименьшие значения функций. Производная и ее применение в алгебре, геометрии. Рассматриваемая функция. Задача. Неравенство. Признаки возрастания и убывания функции. Точка. Определение. Нахождение дифференциала. Доказательство неравенств.
««Интеграл» 11 класс» - Как ты поверженный лежал числом обычным на странице. Интеграл в литературе. Определенный интеграл, ты мне ночами начал сниться. Составьте фразу. Какое счастие познал я в выборе первообразной. Замятин Евгений Иванович (1884-1937). Найти первообразные для функций. Эпиграф. Роман «Мы» (1920 год). Замен и подстановок ряд привел к решению задачи. Иллюстрация к роману «Мы». Интеграл. Группа «Интеграл». Урок алгебры и начал анализа.
«Применение логарифмов» - Со времен древнегреческого астронома Гиппарха (II в. до н.э.) используется понятие «звездная величина». Как, видим, логарифмы вторгаются в область психологии. Из таблицы найдем звездную величину Капеллы (m1 = +0,2т) и Денеба (m2 = +1,3т). Единица громкости. Звёзды, шум и логарифмы. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда. Тема: «ЛОГАРИФМЫ В АСТРОНОМИИ». Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632).
««Функции» алгебра» - Вычислить. Составим таблицу. Исследование функций и построение их графиков. Понятие об интеграле. Функция F называется первообразной для функции f. Площадь криволинейной трапеции. Функция есть первообразная для функции. Вычислим площадь S криволинейной трапеции. «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс». Метод интервалов. Найдем точки пересечения графика с Ох (у = 0). Правила дифференцирования. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
«Примеры логарифмических неравенств» - Готовимся к ЕГЭ! Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими? Итог урока. Найдите верное решение. Возрастающая. Алгебра 11 класс. Задание: решить логарифмические неравенства, предложенные в заданиях ЕГЭ-2010 г. Удачи на ЕГЭ! Кластер для заполнения в течение урока: Цели урока: Найти область определения функции. Между числами m и n поставить знак > или <.(m, n > 0). Графики логарифмических функций.
«Геометрический смысл производной функции» - Значение производной функции. Алгоритм составления уравнения касательной. Геометрический смысл производной. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнения касательной. Составь пару. Секущая. Словарь урока. У меня всё получилось. Правильная математическая идея. Результаты вычисления. Предельное положение секущей. Определение. Найдите угловой коэффициент. Напишите уравнение касательной к графику функции.
А. Дистервег
РАЗВИТИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ НИ ОДНОМУ ЧЕЛОВЕКУ НЕ МОГУТ БЫТЬ ДАНЫ ИЛИ СООБЩЕНЫ. ВСЯКИЙ, КТО ЖЕЛАЕТ К НИМ ПРИОБЩИТЬСЯ, ДОЛЖЕН ДОСТИГНУТЬ ЭТОГО СОБСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ, СОБСТВЕННЫМИ СИЛАМИ, СОБСТВЕННЫМ НАПРЯЖЕНИЕМ .
Определите тему урока, решив уравнения
- 2 х = ; 3 х = ; 5 х = 1/125; 2 х = 1/4; 2 х = 4; 3 х = 81; 7 х = 1/7; 3 х = 1/81
Логарифм и его свойства
Джон Непер, изобретатель логарифмов
В 1590 году пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, опубликовал труд «Описание удивительных таблиц логарифмов». В этом труде содержались определение логарифмов, объяснение их свойств. Изобрел логарифмическую линейку, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений.
Логарифмическая линейка
В настоящее время, с появлением компактных калькуляторов и компьютеров, необходимость в использовании таблиц
логарифмов и логарифмических линеек отпала.
- Логарифмом числа в 0 по основанию а 0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в.
- - логарифм с произвольным основанием.
- Например: а) log 3 81 = 4, так как 3 4 = 81; б) log 5 125 = 3, так как 5 3 = 125; в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5) -4 = 16;
Применение логарифма: Банковские расчёты, география, расчёты в производстве, биология, химия, физика, астрономия, психология, социология, музыка.
Логарифмическая спираль в природе
Раковина наутилуса
Расположение семян на подсолнечнике
Свойства логарифмов
- log a 1 = 0.
- log a a = 1.
- log a xy = log a x + log a y.
- log a х ∕ у = log a x - log a y.
- log a x p = p log a x
- log a р x = 1 ∕ р log a x
- Если основание логарифма равно 10, то логарифм называется десятичным:
- Если основание логарифма е 2,7, то логарифм называется натуральным:
- 1. Найдите логарифм числа 64 по основанию 4.
Решение : log 4 64 = 3, так как 4 3 = 64.
Ответ: 3
- 2. Найдите число x , если log 5 x = 2
Решение: log 5 x = 2, x = 5 2 (по определению логарифма), x = 25.
Ответ : 25.
- 3. Вычислить: log 3 1/ 81 = x ,
Решение: log 3 1/ 81 = x , 3 x = 1/ 81, x = – 4.
Ответ: – 4.
- 1. Вычислить: log 6 12 + log 6 3
Решение:
log 6 12 +log 6 3 = log 6 (12*3) = log 6 36 = log 6 6 2 = 2
Ответ : 2.
- 2. Вычислить: log 5 250 – log 5 2.
Решение:
log 5 250 – log 5 2 = log 5 (250/2) = log 5 125 = 3
Ответ : 3.
- 3. Вычислить:
Решение :
Ответ: 8.
Слайд 2
Цели урока:
Образовательные: Повторить определение логарифма; познакомиться со свойствами логарифмов; научиться применять свойства логарифмов при решении упражнений.
Слайд 3
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию а,где а >0 и а≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Основное логарифмическое тождество alogab=b (где a>0, a≠1, b>0)
Слайд 4
История возникновения логарифмов
Слово логарифм происходит из двух греческих слов и оно переводится, как отношение чисел. В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определения положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили.
Слайд 5
Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632). В таблицы Непера вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 900 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамечеными. Непер Джон (1550-1617)
Слайд 6
Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлила ему жизнь. П. С. Лаплас Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.
Слайд 7
Свойства степени
ах · ау = ах +у = ax –y (x)y = ax·y
Слайд 8
Вычислите:
Слайд 9
Проверьте:
Слайд 10
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
Слайд 11
Применениеизученного материала
а) log 153 + log 155 = log 15(3 · 5) = log 1515 =1,б) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 в) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6,г) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Стр. 93; № 290,291 - 294, 296* (нечётные примеры)
Слайд 12
Найдите вторую половину формулы
Слайд 13
Проверьте:
Слайд 14
Домашнее задание: 1. Выучить свойства логарифмов 2. Учебник: § 16 стр. 92-93; 3. Задачник: № 290 ,291 ,296 (чётные примеры)
Слайд 15
Продолжите фразу: “Сегодня на уроке я узнал…” “Сегодня на уроке я научился…” “Сегодня на уроке я познакомился…” “Сегодня на уроке я повторил…” “Сегодня на уроке я закрепил…” Урок закончен!
Слайд 16
Используемые учебники и учебные пособия: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учебник профильного уровня / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов и др. – М.: Мнемозина, 2007. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: задачник профильного уровня / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов и др. – М.: Мнемозина, 2007. Используемая методическая литература: Мордкович А.Г. Алгебра. 10-11: методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2000 (Калининград: Янтарный сказ, ГИПП). Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября».