- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения - подобны
- Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции - равновеликие (имеют одинаковую площадь)
- Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
- Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
- Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b - основания трапеции
Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции
.
Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .
Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.
LM = (AD - BC)/2
или
LM = (a-b)/2
Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции
Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции - являются подобными
.
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными - они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).
Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.
Что из этого следует?
Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.
Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции
Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это - треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.
Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .
Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:
- Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
- Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника
Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции
Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).
KO / ON = BC / AD
Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).
Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции
Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:
- Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
- Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)
Формулы для нахождения диагоналей трапеции
a, b - основания трапеции
c, d - боковые стороны трапеции
d1 d2 - диагонали трапеции
α β - углы при большем основании трапеции
Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании
Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:
1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема
2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.
3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ
Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.
Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.
Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту
Задача
.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.
Решение
.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.
Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.
Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть
AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Ответ : 16 см
Задача
.
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.
Решение
.
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим
длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле
нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник.
Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Учтем, что a = 16 - b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2
Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .
Трапеция - это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего "стол", "столик". В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.
Общие сведения
Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников - это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.
Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) - боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже...
Виды трапеции
Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них - равнобедренную и прямоугольную.
1. Прямоугольная трапеция - это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.
2. Равнобедренная трапеция - это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.
Главные принципы методики изучения свойств трапеции
К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.
Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.
Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса - это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.
Элементы и свойства равнобедренной трапеции
Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.
А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.
Решение
Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД - это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ - гипотенуза, а БН и АН - катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 - β. Все углы определены.
Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.
Свойство диагоналей равнобедренной трапеции
Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:
Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;
Ее высота и средняя линия равны;
Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;
Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;
Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности - это квадрат, у которого сторона равна радиусу;
Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.
Подобные трапеции
Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам - равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.
Доказательство теоремы
Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС - основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения - О. Получаем четыре треугольника: АОС - у нижнего основания, БОС - у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.
Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.
Свойства подобия
Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина - это среднее гармоническое оснований фигуры.
Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки - Е, Т, О и Ж - будут лежать на одной прямой.
Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.
Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части - В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).
Выводы подобия
Таким образом, мы доказали, что:
1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).
2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).
3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.
4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.
Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О - пересечение диагоналей фигуры - параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ - средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ - средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.
Центр тяжести
Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее - в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.
Вписанные и описанные трапеции
Давайте перечислим особенности таких фигур:
1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.
2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.
Следствия вписанной окружности:
1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.
2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.
Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.
Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ - высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.
Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).
Все формулы средней линии трапеции
Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):
1. Через основания: М = (А+Б)/2.
2. Через высоту, основание и углы:
М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;
М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 - диагонали трапеции; α , β - углы между ними:
М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.
4. Через площадь и высоту: М = П/Н.
Цели урока:
1. Изучить понятие средней линии трапеции, доказательство свойства средней линии, учить применять теорему в нестандартных ситуациях при решении задач.
2. Формировать умение учащихся анализировать, обобщать, использовать элементы исследования, сравнения.
3. Развивать логическое мышление, воспитывать культуру математической речи, эстетический вкус.
Оборудование:
1. АРМ, экран, проектор
2. Презентация по теме урока. (Приложение
1
)
3. Карточки
4. Учебник А.В. Погорелова «Геометрия»
5. Сборники ЕГЭ., 2004 г.
Ход урока
1. Для изучения темы урока нам понадобятся следующие теоретические знания.
Продолжите предложения:
1) Трапеция – это четырёхугольник…
Рисунок 1
2) Средняя линия треугольника – это…
Рисунок 2
3) В любом треугольнике можно построить … средние линии.
Рисунок 3
4) Средняя линия треугольника обладает свойством …
Рисунок 4
5) Два треугольника равны, если …
Рисунок 5
6) При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей …
Рисунок 6
7) Если две прямые параллельны третьей, то …
Рисунок 7
2. Введём понятие средней линии трапеции:
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Рисунок 8
(В тетрадях учащиеся выполняют построения)
1) Верно ли определение: отрезок, соединяющий середины двух сторон трапеции, является средней линией? (Нет, отсутствует слово боковых сторон).
2) А сколько средних линий можно построить в трапеции? (Только одну).
3) Каким свойством обладает средняя линия трапеции? Измерьте основания трапеции и длину средней линии. Чему равна средняя линия? (Половине суммы оснований).
Попробуем доказать это свойство.
3. Доказательство теоремы.
(На доске и в тетрадях учеников чертёж и запись условия теоремы).
Рисунок 9
Доказательство
1) Мы знаем свойство средней линии треугольника. Как можно этим воспользоваться? (Нужен треугольник). Как его получить? (Выполнить дополнительное построение: через С и М проведём прямую до пересечения с прямой AD).
а) AM=MB (по условию MN-средняя линия)
б) A = B (накрест лежащие при BC||AD и секущей AB)
в) AME = BMC (вертикальные углы)
Следовательно, EM=MC и EA=BC.
Рисунок 11
3) В Δ ECD: MN- средняя линия по определению, тогда по свойству
a) MN || AD и BC || AD (по условию). Следовательно, MN || BC.
b) MN = ½ ED = ½ (EA+AD) = ½ (BC+AD).
Следует повторить всё доказательство, учащимся сделать записи в тетрадях.
Повторяем план доказательства:
1) Проводим через одну из вершин верхнего основания трапеции и противолежащий конец средней линии прямую до пересечения с продолжением нижнего основания.
2) Доказываем равенство полученных треугольников с общей вершиной.
3) Доказываем, что MN является средней линией Δ ECD и используем свойство средней линии треугольника
4. Где уже встречалось выражение «полусумма оснований трапеции»?
1) В формуле S тр =h*(a+b)/2. Как можно иначе прочитать эту формулу? (S тр =MN*h, где MN – средняя линия трапеции).
2) В свойстве равнобедренной трапеции: B 1 D = (a+b)/2.
Рисунок 12
Высота в равнобедренной трапеции делит большее основание трапеции на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований. Следовательно, в равнобедренной трапеции B1D=MN.
1) Закрепление. (Устно по готовым рисункам)
Рисунок 13
2) Выполнить письменно на доске
I. Погорелов №69, стр. 101
II. *ЕГЭ-2004, вариант №383, задание B9 , стр. 40
(Условие и решение задач см. в Приложении 2 ).
6. Самостоятельная работа по карточкам (дифференцированная)
№1 («3») В трапеции одно основание больше другого в 1,5 раза, а средняя линия равна 5 см. Найти основания трапеции.
(Решение: Рисунок 14)
Рисунок 14
№ 2 («4») В прямоугольной трапеции тупой угол равен 1200, большая боковая сторона равна 20 см., а средняя линия равна 14 см. Найти площадь трапеции.
(Решение: Рисунок 15)
Рисунок 15
№ 3 («5») В равнобедренной трапеции высота равна средней линии. Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.
(Решение: Рисунок 16)
Рисунок 16
(Самостоятельную работу проверить по презентации по готовым слайдам №№ 18, 19, 20).
7. Задание на дом
1)Атанасян Л.С. «Геометрия», п. 85 (доказательство по тетради по уч. Погорелова, стр. 92); № 793, № 798, № 799
2)*Ершова А.Л., стр. 89 В-2 (№2)
Понятие средней линии трапеции
Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.
Определение 1
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные -- боковыми сторонами трапеции.
Определение 2
Средняя линия трапеции -- это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Теорема о средней линии трапеции
Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.
Теорема 1
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 1).
Рисунок 1. Средняя линия трапеции
Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.
Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что
С другой стороны
Сложим два последних равенства, получим
Так как $M$ и $N$ - середины боковых сторон трапеции, то будем иметь
Получаем:
Следовательно
Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.
Теорема доказана.
Примеры задач на понятие средней линии трапеции
Пример 1
Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.
Решение.
Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.
Сумма боковых сторон равна
Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна
Значит, по теореме 1, получаем
Ответ: $10\ см$.
Пример 2
Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.
Решение.
Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как $AD$ и $BC$ - расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ -- радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ - трапеция, а $OH$ - ее средняя линия. По теореме 1, получаем
В решении планиметрических задач, помимо сторон и углов фигуры, нередко активное участие принимают и другие величины – медианы, высоты, диагонали, биссектрисы и прочие. К их числу относится и средняя линия.
Если исходный многоугольник – трапеция, то что представляет собой его средняя линия? Данный отрезок представляет собой часть прямой, которая пересекает боковые стороны фигуры посередине и располагается параллельно двум другим сторонам – основаниям.
Как найти среднюю линию трапеции через линию средины и основания
Если известны величина верхнего и нижнего оснований, то рассчитать неизвестное поможет выражение:
a, b – основания, l – средняя линия.
Как найти среднюю линию трапеции через площадь
Если в исходных данных присутствует значение площади фигуры, то с помощью данной величины также можно вычислить длину линии средины трапеции. Воспользуемся формулой S = (a+b)/2*h,
S – площадь,
h – высота,
a, b – основания.
Но, так как l = (a+b)/2, то S = l*h, а значит l=S/h.
Как найти среднюю линию трапеции через основание и углы при нем
При наличии длины большего основания фигуры, ее высоты, а также известных градусных мер углов при нем, выражение для нахождения линии средины трапеции будет иметь следующий вид:
l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, при этом
l – искомая величина,
a – большее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.
Если известно значение меньшего основания (при тех же остальных данных), найти линию средины поможет соотношение:
l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,
l – искомая величина,
b – меньшее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.
Найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и углы
Рассмотрим ситуацию, когда в условиях задачи присутствуют значения диагоналей фигуры, углы, которые они образуют, пересекаясь друг с другом, а также высота. Рассчитать среднюю линию можно с помощью выражений:
l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,
l – линия средины,
d1, d2 – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.
Как найти среднюю линию трапецииДля равнобедренной фигуры
В случае, если базовая фигура – трапеция равнобедренная, приведенные выше формулы будут иметь следующий вид.
- При наличии значений оснований трапеции изменений в выражении не произойдет.
l = (a+b)/2, a, b – основания, l – средняя линия.
- Если известны высота, основание и углы, к нему прилегающие, то:
l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,
l – линия средины,
a, b – основания (b < a),
α – углы при нем,
h – высота фигуры.
- Если известна боковая сторона трапеции и одно из оснований, то определить искомую величину можно, обратившись к выражению:
l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – линия средины,
a, b – основания (b < a),
h – высота фигуры.
- При известных значениях высоты, диагоналей (а они равны между собой) и углах, образованных в результате их пересечения, линию средины можно найти следующим образом:
l=(d*d)/2h*sinγ или l=(d*d)/2h*sinφ,
l – линия средины,
d – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.
- Известны площадь и высота фигуры, тогда:
l=S/h,
S – площадь,
h – высота.
- Если перпендикуляр-высота неизвестен, его можно определить с помощью определения тригонометрической функции.
h=c*sinα, поэтому
l=S/c*sinα,
l – линия средины,
S – площадь,
c – боковая сторона,
α- угол у основания.