1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:
Производная функции f(х)=х 9 , мы знаем что f′(х)=9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.
Допустим дана производная f′(х)=6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f(х)=х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))
Определение 1 : Функция F(x)называется первообразной для функции f(x) на отрезке , есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x)
Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=х 5 -5х является первообразной для функции f(х)=5х 4 -5.
Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции
=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5х 4 -5.
Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)= неявляется первообразной для функции f(х)= .
Доказать вместе со студентами на доске.
Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.
Например: (слайд 7)
Основное свойство первообразной:
Теорема: Если F(x)- одна из первообразных для функцииf(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G(x)=F(x)+C, где С действительное число.
(Слайд 8) таблица первообразных
Три правила нахождения первообразных
Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.
(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g
Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.
(kF)’ = kF’ = kf
Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция
Первообразная для f(kx+b).
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:
1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.
Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:
1. Вывод формулы площади круга.
2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.
Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.
Тема: Первообразная и неопределенный интеграл.
Цель: учащиеся проверят и закрепят знания и умения по теме «Первообразная и неопределенный интеграл».
Задачи:
Образовательная : научатся производить вычисления первообразных и неопределенных интегралов, используя свойства и формулы;
Развивающая : будут развивать критическое мышление, смогут наблюдать и делать анализ математических ситуаций;
Воспитательная : учащиеся учатся уважать чужое мнение, умение работать в группе.
Ожидаемый результат:
Углубят и систематизируют теоретические знания, будут развивать познавательный интерес, мышление, речь, творчество.
Тип : урок закрепления
Форма: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.
Методы обучения : частично-поисковый, практический.
Методы познания : анализ, логический, сравнение.
Оборудование: учебник, таблицы.
Оценка учащихся: взаимооценка и самооценка, наблюдение за детьми во
время урока.
Ход урока.
Вызов.
Постановка цели:
Мы с вами умеем строить график квадратичной функции, умеем решать квадратные уравнения и квадратные неравенства, а так же решать системы линейных неравенств.
Как вы думаете, какова будет тема сегодняшнего урока?
Создание хорошего настроения на уроке. (2-3 мин)
Рисуем настроение: Настроение человека прежде всего отражается в продуктах его деятельности: рисунках, рассказах, высказываниях и др. «Моё настроение»: на общем листе ватмана с помощью карандашей каждый ребёнок рисует своё настроение в виде полоски, облачка, пятнышка (в течение минуты).
Затем листочки передаются по кругу. Задача каждого определить настроение друга и дополнить его, дорисовать. Это продолжается до тех пор, пока листочки не вернутся к своим хозяевам.
После этого обсуждают получившийся рисунок.
I II . Фронтальный опрос учащихся: «Факт или мнение» 17 мин
1. Сформулируйте определение первообразной.
2. Какие из функций
являются первообразными для функции
3. Докажите, что функция является первообразной функции на промежутке (0;∞).
4. Сформулируйте основное свойство первообразной. Как геометрически интерпретируется это свойство?
5. Для функции
найдите первообразную, график которой проходит через точку
. (Ответ:
F
(
x
) =
tgx
+ 2.)
6. Сформулируйте правила нахождения первообразной.
7. Сформулируйте теорему о площади криволинейной трапеции.
8. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
9. В чём заключается геометрический смысл интеграла?
10. Приведите примеры применения интеграла.
11. Обратная связь: «Плюс-минус-интересно»
IV . Индивидуально-парная работа с взаимопроверкой: 10 мин
Решить №5,6,7
V . Практическая работа: решаем в тетради. 10 мин
Решить № 8-10
VI . Итоги урока. Выставление оценок (ОдО, ОО). 2 мин
VII . Домашнее задание: п. 1 № 11,12 1 мин
VIII . Рефлексия: 2 мин
Урок:
Привлёк меня тем…
Показался интересным…
Взволновал…
Заставил задуматься…
Навёл на размышления…
Что на вас произвело наибольшее впечатление?
Пригодятся ли вам знания, приобретённые на этом уроке, в дальнейшей жизни?
Что нового вы узнали на уроке?
Что вы считаете нужным запомнить?
10. Над чем ещё надо поработать
Мною был проведен урок в 11 классе по теме «Первообразная и неопределенный интеграл », это урок закрепления темы .
Задачи, которые предстояло решить во время урока:
научатся производить вычисления первообразных и неопределенных интегралов, используя свойства и формулы; будут развивать критическое мышление, смогут наблюдать и делать анализ математических ситуаций; учащиеся учатся уважать чужое мнение, умение работать в группе.
После проведения урока я ожидала следующий результат :
Учащиеся углубят и систематизируют теоретические знания, будут развивать познавательный интерес, мышление, речь, творчество.
Создать условия для развития практического и творческого мышления. Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воспитание чувства уважения между учащимися для максимального раскрытия их способностей через групповое обучение
На своем уроке применяла фронтальную, индивидуальную, парную, групповую работу.
Я планировала это занятие для того, чтобы закрепить с учащимися понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Я считаю, что хорошо получилась работа по созданию постера «Рисуем настроение» в начале урока. Настроение человека, прежде всего, отражается в продуктах его деятельности: рисунках, рассказах, высказываниях и др. «Моё настроение»: когда на общем листе ватмана с помощью карандашей каждый ребёнок рисует своё настроение (в течение минуты).
Затем ватман поворачивается по кругу. Задача каждого определить настроение друга и дополнить его, дорисовать. Это продолжается до тех пор, пока картинка на ватмане не вернется к своему хозяину. После этого обсуждают получившийся рисунок. Каждый ребенок смог отобразить свое настроение и приступить к работе на уроке.
На следующем этапе урока, применяя метод «Факт или мнение», учащиеся старались доказать, что все понятия по данной теме факт, но никак не их личное мнение. При решении примеров по данной теме происходит обеспечение восприятия, осмысления и запоминания. Формируются целостные системы ведущих знаний по данной теме.
При контроле и самопроверке знаний выявляется качество и уровень овладения знаниями, а так же способами действий, обеспечивается их коррекция.
В структуру урока я включила частично-поисковое задание. Ребята самостоятельно решили задания. Проверили себя в группе. Получили индивидуальную консультацию. Я нахожусь в постоянном поиске новых приемов и методов работы с детьми. В идеальном варианте мне хочется, чтобы каждый ребенок сам планировал свою деятельность на уроке и после него, отвечал на вопросы: хочу я достичь определенных высот или нет, надо мне образование на высоком уровне или нет. На примере этого урока я постаралась показать, что сам ребенок может определить и тему, и ход урока. Что он сам может скорректировать свою деятельность и деятельность учителя таким образом, чтобы урок и дополнительные занятия отвечали его потребностям.
При выборе того или иного вида заданий я учитывала цель занятия, содержание и трудности учебного материала, тип занятия, способы и методы обучения, возрастные и психологические особенности учащихся.
При традиционной системе обучения, когда преподаватель излагает готовые знания, а учащиеся пассивно их усваивают, вопрос о рефлексии обычно не стоит.
Я считаю, что особенно хорошо получилась работа при составлении рефлексии « Что я узнал (а) на уроке…» . Это задание вызвало особенный интерес и помогли понять, как лучше организовать данную работу на следующем уроке.
Считаю, что не получилась самооценка и взаимооценка, учащиеся завышали оценки себе и товарищам.
Анализируя урок, я поняла, что учащиеся хорошо осознали значение формул и их применение при решении и научились использовать различные стратегии на разных этапах урока.
Следующее занятие я хочу провести по стратегии «Шесть шляп» и провести рефлексию «Бабочка», что позволит каждому высказать свое мнение, записать его.
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ
« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».
2 часа.
11 а класс с углубленным изучением математики
Проблемное изложение.
Проблемно – поисковые технологии обучения.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
ЦЕЛЬ УРОКА:
Активизировать мыслительную деятельность;
Способствовать усвоению способов исследова-
- обеспечить более прочное усвоение знаний.
ЗАДАЧИ УРОКА:
ввести понятие первообразной;
доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
ввести определение неопределенного интеграла;
доказать свойства неопределенного интеграла;
отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА:
повторить правила и формулы дифференцирования
понятие дифференциала.
Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.
Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.
(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-
цирования).
1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную
скорость в любой момент времени.
- V(t) = S(t).
2. Зная, что количество электричества, протекающего
через проводник выражается формулой q (t) = 3t
- 2 t,
выведите формулу для вычисления силы тока в любой
момент времени t.
- I (t) = 6t - 2.
3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-
мени, найти закон его движения.
Зная, что сила тока проходящего через проводник в лю-
определения количества электричества, проходящего
через проводник.
Учитель: Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя
имеющиеся у нас средства?
(Создание проблемной ситуации).
Предположения учащихся:
- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,
обратную дифференцированию.
Операция дифференцирования сопоставляет заданной
функции F (x) ее производную.
F (x) = f (x).
Учитель: В чем заключается задача, дифференцированию?
Вывод учащихся:
Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию
F (x) производной которой является f (x) , т.е.
f (x) = F(x) .
Такая операция называется интегрированием, точнее
неопределенным интегрированием.
Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.
Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.
В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.
Введем определение. (кратко символически записывается
на доске).
Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут
ке X, называют первообразной для функции задан-
ной на том же промежутке, если для всех x 
X
выполняется равенство
F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .
Например. (x) = 2x, из этого равенства следует, что функция
x является первообразной на всей числовой оси
для функции 2x.
Используя определение первообразной, выполните упражнение
№ 2 (1,3,6) . Проверьте, что функция F является первообраз-
ной для функции f, если
1) F (x) =
2 cos 2x , f (x) = x
- 4 sin 2x .
2) F (x) = tg
х - cos 5x , f (x) = 
+ 5 sin 5x.
3) F (x) = x
sin x + 
, f (x) = 4x sinx + x cosx + 
.
Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-
руя свои действия.
Является ли функция х единственной первообразной
для функции 2х?
Учащиеся приводят примеры
х + 3 ; х - 92, и т.д. ,
Вывод делают сами учащиеся:
любая функция имеет бесконечно много первообразных.
Всякая функция вида х + С, где С – некоторое число,
является первообразной функции х.
Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку
учителя.
Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообраз-
ную F, то для любого числа С функция F + C также
является первообразной для f . Иных первообразных
функция f на Х не имеет.
Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.
а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то
F (x) = f (x) для всех х Х.
Тогда для х Х для любого С имеем:
(F (x) + C) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже
первообразная f на Х.
б) Докажем, что иных первообразных на Х функция f
не имеет.
Предположим, что Ф тоже первообразная для f на Х.
Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно
Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда
Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная
функции f на Х имеет вид F + C.
Учитель: в чем заключается задача отыскания всех первообраз-
ных для данной функции?
Вывод формулируют учащиеся:
Задача отыскания всех первообразных, решается
отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб-
разная найдена, то любая другая получается из нее
прибавлением постоянной.
Учитель формулирует определение неопределенного интеграла.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f
называют неопределенным интегралом этой
функции.
Обозначение. 
; 
- читается интеграл.
= F (x) + C, где F – одна из первообразных
для f , С пробегает множество
действительных чисел.
f - подынтегральная функция;
f (x)dx - подынтегральное выражение;
х - переменная интегрирования;
С - постоянная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и выписывают их в тетрадь.
.
Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски
Тема урока : Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
Цели урока:
Образовательные:
ознокомить студентов с понятиями первообразной и неопределенного интеграла, основным свойством первообразной и правилами нахождения первообразной и неопределенного интеграла.
Развивающие:
развивать навыки самостоятельной деятельности,
активизировать мыслительную деятельность, математическую речь.
Воспитательные:
воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы;
формировать ответственность за конечный результат.
Тип урока : сообщения новых знаний
Метод проведения : словесный, наглядный, самостоятельная работа.
Обеспечение урока :
Мультимедийное оборудование и программное обеспечение для показа презентации и видео;
Раздаточный материал: таблица простейших интегралов (на этапе закрепления).
Структура занятия.
1. Организационный момент (2 мин.)
Мотивация учебной деятельности. (5 мин.)
Изложение нового материала. (50 мин.)
Закрепление изученного материала. (25 мин.)
Подведение итогов занятия. Рефлексия. (6 мин.)
Сообщение домашнего задания. (2 мин.)
Ход занятия.
Организационный момент. (2 мин.)
Приемы преподавания
Приемы учения
Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.
Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал.
Мотивация учебной деятельности.( 5 мин.)
Приемы преподавания
Приемы учения
Тема сегодняшнего занятия «Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства». (Слайд 1)
Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.
Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла. (Слайд 2)
Учащиеся записывают дату и тему занятия.
3. Изложение нового материала (50 мин)
Приемы преподавания
Приемы учения
1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:
Производная функции f (х)= х 9 , мы знаем что f ′(х)= 9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.
Допустим дана производная f ′(х)= 6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f (х)= х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))
Определение 1 : Функция F ( x )называется первообразной для функции f ( x ) на отрезке [ a ; b ], есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f ( x )
Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F ( x )=х 5 -5х f (х)=5 х 4 -5.
Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции
=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5 х 4 -5.
Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F ( x )= не является первообразной для функции f (х)= .
Доказать вместе со студентами на доске.
Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.
Например: (слайд 7)
Основное свойство первообразной:
Теорема: Если F ( x ) - одна из первообразных для функции f (х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G ( x )= F ( x )+ C , где С действительное число.
(Слайд 8) таблица первообразных
Три правила нахождения первообразных
Правило №1: Если F есть первообразная для функции f , а G – первообразная для g , то F + G – есть первообразная для f + g .
(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g
Правило №2: Если F – первообразная для f , а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf .
(kF )’ = kF ’ = kf
Правило №3: Если F – первообразная для f , а k и b – постоянные (), то функция
Первообразная для f (kx + b ).
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:
1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.
Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:
1. Вывод формулы площади круга.
2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.
Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.
Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.
Определение 2 : Выражение F ( x ) + C , где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом
Из определения имеем:
(1)
Неопределенный интеграл функции f (x ), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f (x ) .
В равенстве (1) функцию f (x ) называется подынтегральной функцией , а выражение f (x ) dx – подынтегральным выражением , переменную x – переменной интегрирования , слагаемое C - постоянной интегрирования .
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Свойства неопределенного интеграла.
Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a = const , то
Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.
4. Таблица простейших интегралов
1. ,( n -1) 2.
3. 4.
5. 6.
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными . Отметим частный случай формулы 1:
Приведем еще одну очевидную формулу:
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ
« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».
11 а класс с углубленным изучением математики
Проблемное изложение.
Проблемно – поисковые технологии обучения.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
ЦЕЛЬ УРОКА:
Активизировать мыслительную деятельность;
Способствовать усвоению способов исследова-
Обеспечить более прочное усвоение знаний.
ЗАДАЧИ УРОКА:
ввести понятие первообразной;
доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
ввести определение неопределенного интеграла;
доказать свойства неопределенного интеграла;
отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА:
повторить правила и формулы дифференцирования
понятие дифференциала.
ХОД УРОКА
Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.
Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.
(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-
цирования).
1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную
скорость в любой момент времени.
2. Зная, что количество электричества, протекающего
через проводник выражается формулой q (t) = 3t
- 2 t,
выведите формулу для вычисления силы тока в любой
момент времени t.
I (t) = 6t - 2.
3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-
мени, найти закон его движения.
Зная, что сила тока проходящего через проводник в лю-
бой момент времени I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для
определения количества электричества, проходящего
через проводник.
Учитель: Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя
имеющиеся у нас средства?
(Создание проблемной ситуации).
Предположения учащихся:
Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,
обратную дифференцированию.
Операция дифференцирования сопоставляет заданной
функции F (x) ее производную.
Учитель: В чем заключается задача, дифференцированию?
Вывод учащихся:
Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию
F (x) производной которой является f (x) , т.е.
Такая операция называется интегрированием, точнее
неопределенным интегрированием.
Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.
Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.
В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.
Введем определение. (кратко символически записывается
на доске).
Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут
ке X, называют первообразной для функции задан-
ной на том же промежутке, если для всех x 
X
выполняется равенство
F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .
Например. (x) = 2x, из этого равенства следует, что функция
x является первообразной на всей числовой оси
для функции 2x.
Используя определение первообразной, выполните упражнение
№ 2 (1,3,6) . Проверьте, что функция F является первообраз-
ной для функции f, если
1) F (x) = 
2 cos 2x , f (x) = x
- 4 sin 2x .
2) F (x) = tg
х - cos 5x , f (x) = 
+ 5 sin 5x.
3) F (x) = x
sin x + 
, f (x) = 4x sinx + x cosx + 
.
Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-
руя свои действия.
Является ли функция х единственной первообразной
для функции 2х?
Учащиеся приводят примеры
х + 3 ; х - 92, и т.д. ,
Вывод делают сами учащиеся:
любая функция имеет бесконечно много первообразных.
Всякая функция вида х + С, где С – некоторое число,
является первообразной функции х.
Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку
Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообраз-
ную F, то для любого числа С функция F + C также
является первообразной для f . Иных первообразных
функция f на Х не имеет.
Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.
а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то
F (x) = f (x) для всех х Х.
Тогда для х Х для любого С имеем:
(F (x) + C) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже
первообразная f на Х.
б) Докажем, что иных первообразных на Х функция f
не имеет.
Предположим, что Ф тоже первообразная для f на Х.
Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно
Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда
Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная
функции f на Х имеет вид F + C.
Учитель: в чем заключается задача отыскания всех первообраз-
ных для данной функции?
Вывод формулируют учащиеся:
Задача отыскания всех первообразных, решается
отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб- + 
.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
= A .
= 
= 
+ С.
Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения примеров.
Используя свойства неопределенного интеграла, решите примеры № 1 (2,3).
Вычислите интегралы.
.
Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски