Равномерное распределение. Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a , b ), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:
Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a , b ) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x 1 , x 2 ), лежащий внутри интервала (a , b ), равна:
(30)
Рис. 4. График плотности равномерного распределения
Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале
Показательное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение
(31)
График плотности распределения вероятностей (31) представлен на рис. 5.
Рис. 5. График плотности показательного распределения
Время Т
безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ
, физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.
Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина Х имеет нормальное (гауссово) распределение , если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:
(32)
где m = M (X ) , .
При нормальное распределение называется стандартным .
График плотности нормального распределения (32) представлен на рис. 6.
Рис. 6. График плотности нормального распределения
Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся в различных случайных явлениях природы. Так, ошибки выполнения команд автоматизированным устройством, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства, ошибки параметров компьютерных систем и т.д. в большинстве случаев имеют нормальное или близкое к нормальному распределение. Более того, случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых, распределены практически по нормальному закону.
Гамма-распределение. Случайная величина Х имеет гамма-распределение , если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:
(33)
где 
– гамма-функция Эйлера.
В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ - время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.
Непрерывная случайная величина - это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.
Функция распределения непрерывной случайной величины
Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.
Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.
Свойства функции распределения:
1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.
3 . $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4 . ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.
Пример 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:
$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$
Плотность распределения вероятностей
Функция $f\left(x\right)={F}"(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.
Свойства функции $f\left(x\right)$.
1 . $f\left(x\right)\ge 0$.
2 . $\int^x_{-\infty }{f\left(t\right)dt}=F\left(x\right)$.
3 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ - это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.
4 . $\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)}=1$.
Пример 2
. Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)={F}"(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end{matrix}\right.$
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле
$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx}.$$
Пример 3 . Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.
$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)\ dx}=\int^1_0{x\ dx}={{x^2}\over {2}}\bigg|_0^1={{1}\over {2}}.$$
Дисперсия непрерывной случайной величины
Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле
$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2.$$
Пример 4 . Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.
$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2=\int^1_0{x^2\ dx}-{\left({{1}\over {2}}\right)}^2={{x^3}\over {3}}\bigg|_0^1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$
Понятия математического ожидания М (Х ) и дисперсии D (X ), введенные ранее для дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.
· Математическое ожидание М (Х ) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:
при условии, что этот интеграл сходится.
· Дисперсия D (X ) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:
· Среднее квадратическое отклонение σ(Х ) непрерывной случайной величины определяется равенством:
Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных.
Задача 5.3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f (x ):
Найти M (X ), D (X ), σ(Х ), а также P (1 < х < 5).
Решение:
M (X )= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D (X )=
= = /
P 1 =
Задачи
5.1. Х
f (x ), а также
Р (‒1/2 < Х < 1/2).
5.2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти дифференциальную функцию распределения f (x ), а также
Р (2π /9 < Х < π /2).
5.3. Непрерывная случайная величина Х
Найти: а) число с ; б) М (Х ), D (X ).
5.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:
Найти: а) число с ; б) М (Х ), D (X ).
5.5. Х :
Найти: а) F (х ) и построить ее график; б) M (X ), D (X ), σ(Х ); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).
5.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х :
Найти: а) F (х ) и построить ее график; б) M (X ), D (X ), σ(Х ); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку .
5.7. Функция f (х ) задана в виде:
с Х ; б) функцию распределения F (x ).
5.8. Функция f (x ) задана в виде:
Найти: а) значение постоянной с , при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х ; б) функцию распределения F (x ).
5.9. Случайная величина Х , сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F (х )= Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.
5.10. Случайная величина Х , сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F (х )= . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) меньше 4.
5.11.
Найти: а) число с ; б) М (Х ); в) вероятность Р (Х > М (Х )).
5.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:
Найти: а) М (Х ); б) вероятность Р (Х ≤ М (Х )).
5.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:
Доказать, что f (x ) действительно является плотностью распределения вероятностей.
5.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х :
Найти число с .
5.15. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2;2] (рис. 5.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f (x ) на всей числовой оси.
Рис. 5.4 Рис. 5.5
5.16. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0;4) (рис. 5.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f (x ) на всей числовой оси.
Ответы
P (-1/2<X <1/2)=2/3.
P (2π /9<Х < π /2)=1/2.
5.3. а) с =1/6, б) М (Х )=3 , в) D (X )=26/81.
5.4. а) с =3/2, б) М (Х )=3/5, в) D (X )=12/175.
б) M (X )= 3 , D (X )= 2/9, σ(Х )= /3.
б) M (X )=2 , D (X )= 3 , σ(Х )= 1,893.
5.7. а) с = ; б)
5.8. а) с =1/2; б)
5.9. а)1/4; б) 0.
5.10. а)3/5; б) 1.
5.11. а) с = 2; б) М (Х )= 2; в) 1-ln 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. а) М (Х )= π /2 ; б) 1/2
Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение , меньшее х
Пример 2.5. Дан ряд распределения случайной величины
Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение. В соответствии с определением
F(jc) = 0 при х х
F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F{x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5.
Итак (см. рис. 2.1):
Свойства функции распределения:
1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:
2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при х 2 >х
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности - равна единице, т.е.
4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b (см. рис. 2.2), т.е.
Рис. 2.2
3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:
F(x)= Jp (*)*. (2.10)
4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:
Геометрически свойства / и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс , и полная площадь фигуры , ограниченной кривой распределения и осью абсцисс , равна единице.
Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) определяются по формулам:
(если интеграл абсолютно сходится); или
(если приведенные интегралы сходятся).
Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.
Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение x q случайной величины , при котором функция ее распределения принимает значение , равное q, т. е.
- 100q%-ou точкой называется квантиль X~ q .
- ? Пример 2.8.
По данным примера 2.6 найти квантиль xqj и 30%-ную точку случайной величины X.
Решение. По определению (2.16) F(xo t3)= 0,3, т. е.
~Y~ = 0,3, откуда квантиль х 0 3 = 0,6. 30%-ная точка случайной величины X , или квантиль Х)_о,з = xoj » находится аналогично из уравнения ^ = 0,7 . откуда *,= 1,4. ?
Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные v* и центральные р* моменты к-го порядка , определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам:
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пример 2.1. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, заключенные в промежутке (2,5; 3,6).
Решение: Х в промежуток (2,5; 3,6) можно определить двумя способами:
Пример 2.2. При каких значениях параметров А и В функция F (x ) = A + Be - x может быть функцией распределения для неотрицательных значений случайной величины Х .
Решение: Так как все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу , то для того, чтобы функция была функцией распределения для Х , должно выполняться свойство:
.
Ответ: 
.
Пример 2.3. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25;0,75).
Решение: Вероятность попадания величины Х в промежуток (0,25;0,75) найдем по формуле:
Пример 2.4. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,3. Составить закон распределения числа попаданий при трех бросках.
Решение: Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трех бросках – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х
Х :
Пример 2.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.
Решение: Найдем закон распределения дискретной случайной величины Х – числа попаданий в мишень. Пусть событие – попадание в мишень первым стрелком, а – попадание вторым стрелком, и - соответственно их промахи.
Составим закон распределения вероятностей СВ Х :
Пример 2.6. Испытываются 3 элемента, работающих независимо друг от друга. Длительности времени (в часах) безотказной работы элементов имеют функции плотности распределения: для первого: F 1 (t ) =1-e - 0,1 t , для второго: F 2 (t ) = 1-e - 0,2 t , для третьего: F 3 (t ) =1-e - 0,3 t . Найти вероятность того, что в интервале времени от 0 до 5 часов: откажет только один элемент; откажут только два элемента; откажут все три элемента.
Решение: Воспользуемся определением производящей функции вероятностей :
Вероятность того, что в независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна , во втором и т. д., событие А появится ровно раз, равна коэффициенту при в разложении производящей функции по степеням . Найдем вероятности отказа и неотказа соответственно первого, второго и третьего элемента в интервале времени от 0 до 5 часов:
Составим производящую функцию:
Коэффициент при равен вероятности того, что событие А появится ровно три раза, то есть вероятности отказа всех трех элементов; коэффициент при равен вероятности того, что откажут ровно два элемента; коэффициент при равен вероятности того, что откажет только один элемент.
Пример 2.7. Дана плотность вероятности f (x )случайной величины X :
Найти функцию распределения F(x).
Решение: Используем формулу:
.
Таким образом, функция распределения имеет вид:
Пример 2.8. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
Решение: Случайная величина Х – число элементов, отказавших в одном опыте – может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле Бернулли:
Таким образом, получаем следующий закон распределения вероятностей случайной величины Х :
Пример 2.9. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
Решение: Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных – может принимать значения: 1, 2, 3 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х
где -- число деталей в партии;
-- число стандартных деталей в партии;
– число отобранных деталей;
-- число стандартных деталей среди отобранных.
.
.
.
Пример 2.10. Случайная величина имеет плотность распределения
причем и не известны, но , а и . Найдите и .
Решение: В данном случае случайная величина X имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b ]. Числовые характеристики X :
Следовательно, 
. Решая данную систему, получим две пары значений: . Так как по условию задачи , то окончательно имеем: 
.
Ответ: .
Пример 2.11. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех.
Решение: Математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам:
.
Возможные значения СВ (число договоров (из четырех) с наступлением страхового случая): 0, 1, 2, 3, 4.
Используем формулу Бернулли, чтобы вычислить вероятности различного числа договоров (из четырех), по которым были выплачены страховые суммы:
.
Ряд распределения СВ (число договоров с наступлением страхового случая) имеет вид:
| 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Ответ: , .
Пример 2.12. Из пяти роз две белые. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число белых роз среди двух одновременно взятых.
Решение: В выборке из двух роз может либо не оказаться белой розы, либо может быть одна или две белые розы. Следовательно, случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:
где -- число роз;
-- число белых роз;
– число одновременно взятых роз;
-- число белых роз среди взятых.
.
.
.
Тогда закон распределения случайной величины будет такой:
Пример 2.13. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу выбранных из общего числа.
Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и имеет гипергеометрическое распределение. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:
где -- число собранных агрегатов;
-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке;
– число выбранных агрегатов;
-- число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди выбранных.
.
.
.
.
.
.
Тогда закон распределения случайной величины будет такой:
Пример 2.14. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание и дисперсию числа просмотренных часов.
Решение: Случайная величина Х – число агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке среди пяти выбранных – может принимать значения: 1, 2, 3, 4. Вероятности того, что Х примет эти значения, найдем по формуле:
.
.
.
.
Тогда закон распределения случайной величины будет такой:
Теперь вычислим числовые характеристики величины :
Ответ: , .
Пример 2.15. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает.
Решение: Случайная величина может принимать значения: . Так как набранную цифру абонент в дальнейшем не набирает, то вероятности этих значений равны .
Составим ряд распределения случайной величины:
| 0,2 |
Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа попыток набора номера:
Ответ: , .
Пример 2.16. Вероятность отказа за время испытаний на надежность для каждого прибора серии равна p . Определить математическое ожидание числа приборов, давших отказ, если испытанию подверглись N приборов.
Решение: Дискретная случайная величина X - число отказавших приборов в N независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления отказа равна p, распределена по биномиальному закону. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:
Пример 2.17. Дискретная случайная величина X принимает 3 возможных значения: с вероятностью ; с вероятностью и с вероятностью . Найти и , зная, что M(X ) = 8.
Решение: Используем определения математического ожидания и закона распределения дискретной случайной величины:
Находим: .
Пример 2.18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа партий, в каждой из которых содержится ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.
Решение: В данном случае все проводимые опыты независимы, а вероятности того, что в каждой партии содержится ровно 4 стандартных изделия, одинаковы, следовательно, математическое ожидание можно определить по формуле:
,
где - число партий;
Вероятность того, что в партии содержится ровно 4 стандартных изделия.
Вероятность найдем по формуле Бернулли:
Ответ: 
.
Пример 2.19. Найти дисперсию случайной величины X – числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M (X ) = 0,9.
Решение: Задачу можно решить двумя способами.
1) Возможные значения СВ X : 0, 1, 2. По формуле Бернулли определим вероятности этих событий:
,
,
.
Тогда закон распределения X имеет вид:
Из определения математического ожидания определим вероятность :
Найдем дисперсию СВ X :
.
2) Можно использовать формулу:
.
Ответ: 
.
Пример 2.20. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).
Решение: Вероятность попадания нормальной случайной величины Х на участок от до выражается через функцию Лапласа:
Пример 2.21.
Дана функция: 
При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти математическое ожиданий и дисперсию случайной величины X .
Решение: Для того, чтобы функция была плотностью распределения некоторой случайной величины , она должна быть неотрицательна, и она должна удовлетворять свойству:
.
Следовательно:
Вычислим математическое ожидание по формуле:
.
Вычислим дисперсию по формуле:
T равна p . Необходимо найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение: Закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , называют биномиальным. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А одном испытании:
.
Пример 2.25. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.25. Определить среднее квадратическое отклонение числа попаданий при трех выстрелах.
Решение: Так как производится три независимых испытания, и вероятность появления события А (попадания) в каждом испытании одинакова, то будем считать, что дискретная случайная величина X - число попаданий в мишень – распределена по биномиальному закону.
Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
Пример 2.26. Среднее число клиентов, посещающих страховую компанию за 10 мин., равно трем. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 минут придет хотя бы один клиент.
Среднее число клиентов, пришедших за 5 минут: 
. .
Пример 2.29. Время ожидания заявки в очереди на процессор подчиняется показательному закону распределения со средним значением 20 секунд. Найти вероятность того, что очередная (произвольная) заявка будет ожидать процессор более 35 секунд.
Решение:
В этом примере математическое ожидание 
, а интенсивность отказов равна .
Тогда искомая вероятность:
Пример 2.30. Группа студентов в количестве 15 человек проводит собрание в зале, в котором 20 рядов по 10 мест в каждом. Каждый студент занимает место в зале случайным образом. Какова вероятность того, что не более трех человек будут находиться на седьмом месте ряда?
Решение:
Пример 2.31.
Тогда согласно классическому определению вероятности:
где -- число деталей в партии;
-- число нестандартных деталей в партии;
– число отобранных деталей;
-- число нестандартных деталей среди отобранных.
Тогда закон распределения случайной величины будет такой.