Основными характеристиками рассеивания, применяемых для оценки вариации величин относительно выборочной средней, являются дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.
1. Дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние ) – среднее арифметическое из квадратов отклонений величин x i от их среднего арифметического.
Дисперсия (D) - мера рассеивания (отклонения от среднего), определяется следующим образом - из каждого варианта вычитают среднюю арифметическую, разность возводят в квадрат и умножают на соответствующую ей частоту. Далее определяют сумму всех произведений и делят её на объём совокупности:
Для сгруппированных данных дисперсию определяют:
Размерность дисперсии не совпадает с единицами измерения варьирующего признака.
При решении практических задач помимо использования формул расчета выборочной дисперсии используется величина, которая называется исправленной дисперсией . Дело в том, что значение выборочной дисперсии дает заниженные значения по отношению к действительной дисперсии, поэтому при малых выборках (n < 30) необходимо применять исправленную дисперсию и среднеквадратическое отклонение :
или
2. Выборочное и исправленное среднеквадратическое отклонение (σ, s) – корень квадратный из дисперсии. Размерность среднеквадратического отклонения в отличие от размерности дисперсии совпадает с единицами измерения экспериментальных данных, поэтому его в основном используют для характеристики рассеивания изучаемого признака.
Приведем расчет дисперсии (табл. 5) для примера 1.
Таблица 5
Промежуточные вычисления расчета дисперсии
| №п/п | Серединные значения, x i | Классовые частоты, n i | ||
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| 6. | ||||
| 7. | ||||
| 8. | ||||
| 9. | ||||
| 10. | ||||
| сумма |
Дисперсия для сгруппированных данных примера равна:
Среднеквадратическое отклонение соответственно равно:
Исправленное среднеквадратическое отклонение равно:
Заметим, что формулы для вычисления выборочной и исправленной дисперсий отличаются только знаменателями. При достаточно больших n выборочная и исправленная дисперсии мало отличаются, поэтому на практике исправленной дисперсией пользуются, если n < 30 .
3. Коэффициент вариации (v) – является относительной мерой рассеивания признака, используется как показатель однородности выборочных наблюдений (табл. 6).
Коэффициент вариации - это отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах. Кроме того, коэффициент вариации часто используется при сопоставлении (сравнении) степени варьирования различных признаков, выраженных в различных единицах измерения.
Для определения характера рассеивания безразмерный коэффициент вариации v рассчитывают по формуле:
,
где σ – среднеквадратическое отклонение;
Среднее арифметическое выборочных данных.
Наряду с наиболее вероятным значением риска важное значение имеет разброс возможных значений риска относительно его центрального значения. Учет разброса показателей необходим и при решении задач социально-гигиенического мониторинга.
Наиболее распространенными характеристиками разброса случайной величины являются дисперсия и среднеквадратичное отклонение.
Дисперсия случайной величины ξ обозначаемая как D (ξ) (используются также обозначения V (ξ) и σ 2 (ξ)), характеризует наиболее вероятное значение квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.
Для дискретной случайной величины, принимающей значения х i с вероятностями р i , дисперсия определяется как взвешенная сумма нитратов отклонений х i от математического ожидания ξ с весовыми коэффициентами, равными соответствующим вероятностям:
D(ξ) =
Для непрерывной случайной величины ξ ее дисперсия определяется по формуле:
D(ξ) =
Дисперсия обладает следующими практически важными свойствами:
1.Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
D(ξ) ≥ 0
2. Дисперсия постоянной величины равна 0:
D(C) = 0
где С - константа.
3. Дисперсия случайной величины ξ равна разности между математическим ожиданием квадрата этой случайной величины и квадратом математического ожидания ξ:
D(ξ) = M [ξ – M (ξ)] 2 = M(ξ 2) – ( .
4. Прибавление константы к случайной величине не изменяет дисперсии; умножение случайной величины на константу а приводит к умножению дисперсии на а 2 :
D(aξ + b) = a 2 D(ξ),
где а и b - константы.
5. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
где ξ и η - независимые случайные величины.
Среднеквадратичным отклонением случайной величины ξ (используются также термин «стандартное отклонение») называется число σ (ξ) равное квадратному корню из дисперсии ξ:
Среднеквадратичное отклонение измеряет отклонение случайной нвеличины от ее математического ожидания в тех же величинах, в которых измеряется сама случайная величина (в отличие от дисперсии, размерность которой равна квадрату размерности исходной случайной величины). Для нормального распределения среднеквадратичное отклонение равно параметру σ. Таким образом, математическое ожидание и стандартное отклонение представляют собой полный набор характеристик нормального распределения и однозначно определяют вид плотности распределения. Для распределений, отличающихся от нормального, эта пара показателей не является столь же эффективной характеристикой распределения.
В качестве характеристики рассеяния случайной величины используется также коэффициент вариации. Коэффициентом вариации случайной величины ξ имеющей ненулевое математическое ожидание, называется число V (ξ) равное отношению среднеквадратичного отклонения ξ к ее математическому ожиданию:
Коэффициент вариации измеряет рассеяние случайной величины в долях ее математического ожидания и часто выражается в процентах от последнего. Этой характеристикой не следует пользоваться, если математическое ожидание близко к 0 или существенно меньше стандартного отклонения (в этом случае малые ошибки при определении математического ожидания приводят к высокой погрешности для коэффициента вариации), а также, если вид плотности распределении существенно отличается от гауссовского.
Коэффициент асимметрии (As ) определяет 3-ю степень отклонении случайной величины от математического ожидания и определяется по формуле:
На практике этот показатель используется в качестве оценки симметричности распределения. Для любого симметричного распределения он равен 0. Если же плотность распределения несимметрична (что часто может иметь место при оценке риска смерти и рисков, связанных с загрязнением воды и воздуха), то положительный коэффициент асимметрии соответствует случаю, когда левое плечо кривой плотности круче правого, а отрицательный - случаю, когда правое плечо круче левого (рис 4.17).
Для асимметричных распределений стандартное отклонение не является хорошим показателем рассеяния случайной величины. Для характеристики рассеяния в этом случае можно использовать такие показатели, как квартили, квантили и процентили.
Первой квартилью случайной величины ξ, имеющей функцию распределения F(х), называется число Q 1 являющееся решением уравнения
F(Q 1) = 1/4
т. е. такое число, для которого вероятность того, что ξ принимает значения, меньшие Q 1 , равна 1/4, вероятность того, что она принимает значения, большие Q 1 равна 3/4.
Второй квартилью (Q 2 ) случайной величины называется ее медиана, а третьей (Q 3 ) - решение уравнения
F(Q 3) = 3/4
Квартили делят ось абсцисс на 4 интервала: [-∞,Q 1 ], [Q 1 , Q 2 ], [Q 2 , Q 3 ] и [Q 3 , + ∞] в каждый из которых случайная величина попадает c равной вероятностью, а фигуру, ограниченную осью абсцисс и графиком плотности распределения - на 4 области с одинаковой площадью. И интервале между первой и третьей квартилями сосредоточено 50% распределения случайной величины. Для симметричных распределений первая и третья квартили одинаково удалены от медианы.
Квантилью порядка р случайной величины ξ с функцией распределения F(х) называется число х , являющееся решением уравнения
Таким образом, квартили являются квантилями порядка 0,25, 0,5 и 0,75. Если порядок квантили р выражается в процентах, то соответствующие значения х называются процентилями, или р -процентными точками распределения.
На рис. 4.18 показаны, наряду с квантилями, 2,5- и 97,5-процентные точки распределения. Между этими точками сосредоточено 95% распределения случайной величины, поэтому заключенный между ними интервал называют 95 %-м доверительным интервалом среднего (в частности, при оценке рисков - 95 %-м доверительным интервалом риска).
Задача 2. Какие из перечисленных ниже сведений о случайной величине ξ позволяют отвергнуть предположение о том, что она распределена по нормальному закону:
а) ξ - дискретная случайная величина;
б) математическое ожидание ξ отрицательно;
в) распределение ξ унимодально;
г) математическое ожидание ξ не равно ее медиане;
д) коэффициент асимметрии ξ отрицателен;
е) стандартное отклонение ξ больше ее математического ожидания;
ж) ξ характеризует распределение продолжительности острых заболеваний органов дыхания на исследуемой территории;
з) ξ характеризует распределение продолжительности жизни на исследуемой территории;
и) медиана ξ не совпадает с центром интервала между первой и третьей квартилями.
Ответ: Предположение о нормальном законе распределения случайной величины несовместимо с утверждениями а), г), д), з), и).
Рис. 4.17. Зависимость между знаком Рис.4.18. Квартили и процентили:
коэффициента асимметрии и формой иллюстрация с помощью функции
функции плотности распределения
Характеристики положения описывают центр распределения. В то же время значения вариант могут группироваться вокруг него как в широкой, так и в узкой полосе. Поэтому для описания распределения необходимо охарактеризовать диапазон изменения значений признака. Для описания диапазона варьирования признака используются характеристики рассеяния. Наиболее широкое применение нашли размах вариации, дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации.
Размах вариации определяется как разность между максимальным и минимальным значением признака в изучаемой совокупности:
R =x max -x min .
Очевидным достоинством рассматриваемого показателя является простота расчета. Однако поскольку размах вариации зависит от величин только крайних значений признака, то область его применения ограничена достаточно однородными распределениями. В остальных случаях информативность этого показателя весьма невелика, поскольку существует очень много распределений, сильно отличающихся по форме, но имеющих одинаковый размах. В практических исследованиях размах вариации используется иногда при малых (не более 10) объемах выборки. Так, например, по размаху вариации легко оценить, насколько различаются лучший и худший результаты в группе спортсменов.
В рассматриваемом примере:
R =16,36 – 13,04=3,32 (м).
Второй характеристикой рассеяния является дисперсия. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения значения случайной величины от ее среднего значения. Дисперсия есть характеристика рассеяния, разбросанности значений величины около ее среднего значения. Само слово «дисперсия» означает «рассеяние».
При проведении выборочных исследований необходимо установить оценку для дисперсии. Дисперсия, вычисляемая по выборочным данным, называется выборочной дисперсией и обозначается S 2 .
На первый взгляд наиболее естественной оценкой для дисперсии является статистическая дисперсия, вычисленная, исходя из определения, по формуле:
В этой формуле - сумма квадратов отклонений значений признака х i от среднего арифметического . Для получения среднего квадрата отклонений эта сумма поделена на объем выборки п .
Однако такая оценка не является несмещенной. Можно показать, что сумма квадратов отклонений значений признака для выборочного среднего арифметического меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой величины, в том числе от истинного среднего (математического ожидания). Поэтому результат, получаемый по приведенной выше формуле, будет содержать систематическую ошибку, и оценочное значение дисперсии окажется заниженным. Для ликвидации смещения достаточно ввести поправочный коэффициент . В результате получается следующее соотношение для оценочной дисперсии:
При больших значениях n , естественно, обе оценки - смещенная и несмещенная – будут различаться очень мало и введение поправочного множителя теряет смысл. Как правило, уточнение формулы для оценки дисперсии следует производить при n <30.
В случае сгруппированных данных последнюю формулу для упрощения вычислений можно привести к следующему виду:
где k - число интервалов группировки;
n i - частота интервала c номером i ;
x i - срединное значение интервала c номером i .
В качестве примера проведем вычисление дисперсии для сгруппированных данных разбираемого нами примера (см. табл. 4.):
S 2 =/ 28=0,5473 (м 2).
Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины, что затрудняет ее интерпретацию и делает не очень наглядной. Для более наглядного описания рассеяния удобнее пользоваться характеристикой, размерность которой совпадает с размерностью исследуемого признака. С этой целью вводится понятие стандартного отклонения (или среднего квадратического отклонения ).
Стандартным отклонением называется положительный корень квадратный из дисперсии:
В разбираемом нами примере стандартное отклонение равно
Стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения исследуемого признака и, таким образом, оно характеризует степень отклонения признака от среднего арифметического. Иными словами, оно показывает, как расположена основная часть вариант относительно среднего арифметического.
Стандартное отклонение и дисперсия являются наиболее широко применяемыми показателями вариации. Связано это с тем, что они входят в значительную часть теорем теории вероятностей, служащей фундаментом математической статистики. Помимо этого, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов на вариацию исследуемого признака.
Помимо абсолютных показателей вариации, которыми являются дисперсия и стандартное отклонение, в статистике вводятся относительные. Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Коэффициент вариации равен отношению стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженному в процентах:
Из определения ясно, что по своему смыслу коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеяния признака.
Для рассматриваемого примера:
Коэффициент вариации широко используется при проведении статистических исследований. Будучи величиной относительной, он позволяет сравнивать колеблемости как признаков, имеющих различные единицы измерения, так одного и того же признака в нескольких разных совокупностях с различными значениями среднего арифметического.
Коэффициент вариации используется для характеристики однородности полученных экспериментальных данных. В практике физической культуры и спорта разброс результатов измерений в зависимости от значения коэффициента вариации принято считать небольшим (V<10%), средним (11-20%) и большим (V> 20%).
Ограничения на использование коэффициента вариации связаны с его относительным характером – определение содержит нормировку на среднее арифметическое. В связи с этим при малых абсолютных значениях среднего арифметического коэффициент вариации может потерять свою информативность. Чем ближе значение среднего арифметического к нулю, тем менее информативным становится этот показатель. В предельном случае среднее арифметическое обращается в ноль (например, температура) и коэффициент вариации обращается в бесконечность независимо от разброса признака. По аналогии со случаем погрешности можно сформулировать следующее правило. Если значение среднего арифметического в выборке больше единицы, то использование коэффициента вариации правомерно, в противном случае для описания разброса опытных данных следует использовать дисперсию и стандартное отклонение.
В заключение этой части рассмотрим оценку варьирования значений оценочных характеристик. Как уже было отмечено, значения характеристик распределения, рассчитанные по данным эксперимента, не совпадают с их истинными значениями для генеральной совокупности. Точно установить последние не представляется возможным, поскольку, как правило, невозможно обследовать всю генеральную совокупность. Если использовать для оценки параметров распределения результаты разных выборок из одной и той же генеральной совокупности, то окажется, что эти оценки для разных выборок отличаются друг от друга. Оценочные значения флуктуируют около своих истинных значений.
Отклонения оценок генеральных параметров от истинных значений этих параметров называются статистическими ошибками. Причиной их возникновения является ограниченный объем выборки - не все объекты генеральной совокупности входят в нее. Для оценки величины статистических ошибок используется стандартное отклонение выборочных характеристик.
В качестве примера рассмотрим наиболее важную характеристику положения - среднее арифметическое. Можно показать, что стандартное отклонение среднего арифметического определяется соотношением:
где σ - стандартное отклонение для генеральной совокупности.
Поскольку истинное значение стандартного отклонения не известно, то для оценки стандартного отклонения выборочного среднего используется величина, называемая стандартной ошибкой среднего арифметического и равная:
Величина характеризует ошибку, которая в среднем допускается при замене генерального среднего его выборочной оценкой. Согласно формуле, увеличение объема выборки при проведении исследования приводит к уменьшению стандартной ошибки пропорционально корню квадратному из объема выборки.
Для рассматриваемого примера значение стандартной ошибки среднего арифметического равно . В нашем случае она оказалась в 5,4 раза меньше значения стандартного отклонения.
| Одна из причин проведения статистического анализа заключается в необходимости учитывать влияние на исследуемый показатель случайных факторов (возмущений), которые приводят к разбросу (рассеянию) данных. Решение задач, в которых присутствует разброс данных, связано с риском, поскольку даже при использовании всей доступной информации нельзя точно предугадать, что же произойдет в будущем. Для адекватной работы в таких ситуациях целесообразно понимать природу риска и уметь определять степень рассеяния набора данных. Существуют три числовые характеристики, описывающие меру рассеяния: стандартное отклонение, размах и коэффициент вариации (изменчивости). В отличие от типических показателей (среднее, медиана, мода), характеризующих центр, характеристики рассеяния показывают, насколько близко к этому центру располагаются отдельные значения набора данных | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Определение стандартного отклонения | Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) является мерой случайных отклонений значений данных от среднего. В реальной жизни большинство данных характеризуется рассеянием, т.е. отдельные значения располагаются на некотором расстоянии от среднего. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Использовать стандартное отклонение как обобщающую характеристику рассеяния, просто усреднив отклонения данных нельзя, потому что часть отклонений окажется положительной, а другая часть – отрицательной, и, вследствие этого, результат усреднения может оказаться равным нулю.
Чтобы избавиться от отрицательного знака, применяют стандартный прием:
сначала вычисляют дисперсию
как сумму квадратов отклонений, поделенную на (n
–1), а затем из полученного значения извлекают квадратный корень.
Формула для вычисления стандартного отклонения выглядит следующим образом:
Замечание 1. Дисперсия не несет никакой дополнительной информации по сравнению со стандартным отклонением, однако ее сложнее интерпретировать, т. к. она выражается в «единицах в квадрате», в то время как стандартное отклонение выражено в привычных для нас единицах (например, в долларах).
Замечание 2. Приведенная выше формула предназначена для расчета стандартного отклонения по выборке и более точно называется выборочное стандартное отклонение
.
При расчете стандартного отклонения генеральной совокупности
(обозначается символом s) производят деление на n
.
Величина выборочного стандартного отклонения получается несколько больше (т. к. делят на n
–1), что обеспечивает поправку на случайность самой выборки.
В случае, когда набор данных имеет нормальное распределение, стандартное отклонение приобретает особый смысл.
На рисунке, представленном ниже, по обе стороны от среднего сделаны отметки на расстоянии одного, двух и трех стандартных отклонений соответственно.
Из рисунка видно, что примерно 66,7% (две трети) всех значений находятся в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от среднего значения, 95% значений окажутся в пределах двух стандартных отклонений от среднего и почти все данные (99,7%) будут находиться в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.
Это свойство стандартного отклонения для нормально распределенных данных называется «правилом двух третей». В некоторых ситуациях, например при анализе контроля качества продукции, часто устанавливают такие пределы, чтобы в качестве заслуживающей внимание проблемы рассматривались те результаты наблюдений (0,3%), которые отстоят от среднего на расстоянии большем, чем три стандартных отклонения. К сожалению, если данные не подчиняются нормальному распределению, то описанное выше правило применять нельзя. В настоящее время существует ограничение, называемое правилом Чебышева, которое можно применять к ассиметричным (скошенным) распределениям. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Сформировать исходные данные Совокупность СВ | В таблице 1 представлена динамика изменений дневной прибыли на бирже, зафиксированной в рабочие дни за период от 31 июля по 9 октября 1987 года. Таблица 1. Динамика изменения дневной прибыли на бирже
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Запустить Excel | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Создать файл | Щелкните на кнопке Сохранить на панели инструментов Стандартная. откройте В появившемся диалоговом окне папку Статистика и задайте имя файлу Характеристики рассеяния.xls. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Задать метку | 6. На Листе1 в ячейке A1 задайте метку Дневная прибыль, 7. а в диапазон A2:A49 введите данные из Таблицы 1. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Задать функцию СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ | 8. В ячейку D1 введите метку Среднее. В ячейке D2 вычислите среднее, используя статистическую функцию СРЗНАЧ. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Задать функцию СТАНДОТКЛОН | В ячейку D4 введите метку Стандартное отклонение. В ячейке D5 вычислите стандартное отклонение, используя статистическую функцию СТАНДОТКЛОН | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Уменьшите разрядность полученного результата до четвертого знака после запятой. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Интерпретация результатов | Снижение дневной прибыли в среднем составило 0,04% (значение средней дневной прибыли получилось равным –0,0004). Это означает, что средняя дневная прибыль за рассматриваемый период времени была приблизительно равна нулю, т.е. на рынке держался средний курс. Стандартное отклонение получилось равным 0,0118. Это означает, что вложенный в фондовый рынок один доллар ($1) за сутки изменялся в среднем на $0,0118, т.е. его вложение могло привести к прибыли или потере в размере $0,0118. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Проверим, соответствуют ли приведенные в Таблице 1 значения дневной прибыли правилам нормального распределения | 1. Рассчитайте интервал, соответствующий одному стандартному отклонению по обе стороны от среднего. 2. В ячейках D7, D8 и F8 задайте соответственно метки: Одно стандартное отклонение, Нижняя граница, Верхняя граница. 3. В ячейку D9 введите формулу = -0,0004 – 0,0118, а в ячейку F9 введите формулу = -0,0004 + 0,0118. 4. Получите результат с точностью до четвертого знака после запятой. |
5. Определите число значений дневной прибыли, находящихся в пределах одного стандартного отклонения. Сначала отфильтруйте данные, оставив значения дневной прибыли в интервале [-0,0121, 0,0114]. Для этого выделите любую ячейку в столбце A со значениями дневной прибыли и выполните команду:
Данные®Фильтр®Автофильтр
Откройте меню, щелкнув на стрелке в заголовке Дневная прибыль , и выберите (Условие…). В диалоговом окне Пользовательский автофильтр установите параметры как показано ниже. Щелкните на кнопке ОК.
Чтобы подсчитать число отфильтрованных данных, выделите диапазон значений дневной прибыли, щелкните правой кнопкой на свободном месте в строке состояния и в контекстном меню выберите команду Количество значений. Прочтите результат. Теперь отобразите все исходные данные, выполнив команду: Данные®Фильтр®Отобразить все и выключите автофильтр с помощью команды: Данные®Фильтр®Автофильтр.
6. Вычислите процент значений дневной прибыли, удаленных от среднего на расстоянии одного стандартного отклонения. Для этого в ячейку H8 занесите метку Процент , а в ячейке H9 запрограммируйте формулу вычисления процента и получите результат с точностью до одного знака после запятой.
7. Рассчитайте интервал значений дневной прибыли в пределах двух стандартных отклонений от среднего. В ячейках D11, D12 и F12 задайте соответственно метки: Два стандартных отклонения , Нижняя граница , Верхняя граница . В ячейки D13 и F13 введите расчетные формулы и получите результат с точностью до четвертого знака после запятой.
8. Определите число значений дневной прибыли, находящихся в пределах двух стандартных отклонений, предварительно отфильтровав данные.
9. Вычислите процент значений дневной прибыли, удаленных от среднего на расстоянии двух стандартных отклонений. Для этого в ячейку H12 занесите метку Процент , а в ячейке H13 запрограммируйте формулу вычисления процента и получите результат с точностью до одного знака после запятой.
10. Рассчитайте интервал значений дневной прибыли в пределах трех стандартных отклонений от среднего. В ячейках D15, D16 и F16 задайте соответственно метки: Три стандартных отклонения , Нижняя граница , Верхняя граница . В ячейки D17 и F17 введите расчетные формулы и получите результат с точностью до четвертого знака после запятой.
11. Определите число значений дневной прибыли, находящихся в пределах трех стандартных отклонений, предварительно отфильтровав данные. Вычислите процент значений дневной прибыли. Для этого в ячейку H16 занесите метку Процент , а в ячейке H17 запрограммируйте формулу вычисления процента и получите результат с точностью до одного знака после запятой.
13. Постройте гистограмму дневной прибыли акций на бирже и поместите ее вместе с таблицей распределения частот в области J1:S20. Покажите на гистограмме приблизительно среднее значение и интервалы, соответствующие одному, двум и трем стандартным отклонениям от среднего соответственно.
Характеристики положения дают усредненное представление о характерных значениях, принимаемых случайными величинами. Информации в этих характеристиках тем больше, чем меньшие отклонения от них могут наблюдаться в реальном эксперименте. Показатели, описывающие возможные отклонения значений случайной величины от «средних», называются характеристиками рассеяния. К ним относятся дисперсия, среднеквадратичное отклонение, срединное отклонение, коэффициент вариации и некоторые другие. 2.1. Дисперсия и ее свойства Важнейшей из них является дисперсия. Дисперсией случайной величины £ (обозначение #[£]) называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины (от своего среднего Отметим некоторые свойства дисперсии. используя свойства математического ожидания, получаем Отметим, что если случайные величины - независимы, то из свойства 3 математического ожидания следует, что и указанное свойство выглядит так: 6. Если д^(х) - обобщенная плотность распределения случайной величины f, то £>[£] может быть вычислена из соотношения Характеристики рассеяния Дисперсия и ее свойства Неравенство Чебышёва в частности, если £ - непрерывная случайная величина с плотностью ж), то если же £ - дискретная случайная величина с рядом распределения Пример t (дисперсия бернуллиевой случайной величины). Пусть (- беонуллиева случайная величина, . В соответствие с соотношением (4), получаем (М= р) Пример 2 (дисперсия биномиальной случайной величины). Если £ - биномиальная с параметрами (п, р), то, как было отмечено выше, (представима в виде где - независимые одинаково распределенные бернуллиевы с параметром р случайные величины. Поэтому (свойство дисперсии 5) Одновременно доказано комбинаторное тождество Пример 3 (дисперсия равномерной на (и, случайной величины). Пусто Имеем Характеристикой рассеяния, тесно связанной с дисперсией, является среднее ква-дратическое отклонение случайной величины". Обладая тем же качественным наполнением (содержа в себе ту же информацию), что и дисперсия, среднее квадратическое отклонение имеет то преимущество, что измеряется в тех же единицах, что и рассматриваемая случайная величина. Отметим, что из свойств дисперсии с очевидностью следует: если только - независимы. В заключение заметим, что если у случайной величины £ существуют то можно построить случайную величину £, обладающую теми же свойствами, что и £, но имеющую стандартные числовые характеристики: М = 0 и D = 1. Достаточно положить Переход от (к £ - т носит название центрирование случайной величины а переход от- нормирование. Таким образом, соотношение (6) описывает процедуру нормирования и центрирования случайной величины Очевидно, что центрирование) не меняет дисперсии, в то время как нормирование, носящее характер масштабного преобразования, изменяет математическое ожидание в о раз. 2.2. Неравенство Чебышёва Из определения дисперсии (1) ясно, что она призвана качественно описывать рассеяние значений случайной величины относительно математического ожидания. Точный вероятностный смысл этого описания дается неравенством Чебышёва, которое мы здесь рассмотрим. Теорема. Пусть случайная величина £ обладает математическим ожиданием А/(£| = т и дисперсией /?(£) = а2. Тогда каково бы ни было е > О Рассмотрим вспомогательную случайную величину г/, заданную соотношением Заметим, что и потому По теореме о математическом ожидании функции от случайной величины получаем откуда или чем и завершается доказательство. Отметим, что неравенство (7) часто используется в эквивалентной форме получающейся из (7) применением очевидного соотношения Неравенство Чебышёва показывает, что чем меньше дисперсия, тем реже значения случайной величины £ «сильно» (больше чем на е) отклоняются от среднего т. При фиксированной дисперсии вероятности отклонений на величину, большую, чем е,тем меньше, чем больше е. Неравенство (7) универсально. Оно не предъявляет никаких требований к характеру распределения случайной величины f - достаточно существования т и а. В силу своей универсальности оно малоинформативно количественно - для разумных значений е оценки вероятностей крайне фубы. Пример. Для нормальной случайной величины с параметрами (0, 1) имеем Характеристики рассеяния Дисперсия и ее свойства Неравенство Чебышёва в то время как неравенство Чебышёва дает что верно, но тривиально. Для этой же случайной величины при е = 3 точное значение вероятности, а соотношение (8) приводит к оценке которая уже значительно лучше предыдущей. Несмотря на достаточно грубый характер оценок (7)-(8), без дополнительных предположений о характере распределения случайной величины неравенство Чебышёва, как показывает следующий пример, улучшить нельзя - оно точное1*. Пример. Пусть (-дискретная случайная величина, принимающая значения вероятностями соответственно. Легко видеть, что. Положим е = I и найдем значение вероятности Имеем Неравенство (7) в этой ситуации дает оценку которая совпадает с точным значением оцениваемой вероятности. 2.3. Другие характеристики рассеяния Из других характеристик рассеяния, часто используемых в приложениях, отметим коэффициент вариации и срединное отклонение (среднее арифметическое отклонение). Пусть у случайной величины £ существует А/[£) = m и = о2. Коэффициентом вариации случайной величины £ называется величина Из (9) легко усмотреть, что описывает рассеяние случайной величины £ в долях по отношению к среднему. Как абсолютный показатель рассеяния коэффициент вариации не очень удобен, однако для совместно центрированных случайных величин (т.е. имеющих одинаковые математические ожидания) он позволяет эффективно сравнивать диапазоны изменения. Пусть у случайной величины £ существует Срединным отклонением Срединное отклонение (/[£] качественно имеет тот же смысл, что и среднеква-дратическос отклонение - чем больше срединное отклонение, тем больше рассеяние, чем меньше срединное отклонение - тем меньше рассеяние. В том смысле, что существует случайная величина для которой в неравенствах (7)-(8) при некотором е достигается знак равенства. Для конкретных классов распределений связь между этими показателями может быть установлена, однако в общем случае удобных для использования на практике соотношений между U и а нет. Пример 1. Пусть (- нормально распределенная случайная величина. Тогда В этом случае Пример 2. Пусть { = Л[-о, о| - равномерно распределенная случайная величина. Тогда U = а/2. Характеристики рассеяния Дисперсия и ее свойства Неравенство Чебышёва Отметим, что и в этом случае Замеченное свойство U неслучайно -оно имеет место для любых случайных величин (конечно, обладающих дисперсией). Теорема. Если у случайной величины £ существует D£ = а2, то М В неравенстве Коши-Буняковского (свойство 6 математического ожидания) положим Ь Тогда откуда