Слово «биссектриса» с французского переводится как «надвое рассекающая». Биссектриса угла – это «равноделящая» угол, т.е. делящая угол пополам.
Биссектриса угла – луч, проведенный из вершины угла между его сторонами и делящий угол пополам.
Биссектрису угла можно построить по градусной мере угла с помощью транспортира. Для этого градусную меру заданного угла делят пополам и на одной из сторон от вершины откладывают градусную меру половинного угла. Вторая сторона такого угла будет биссектрисой заданного угла.
Если заданный угол имеет градусную меру 60°, то два построенных с помощью биссектрисы угла – по 30°, так как 60°:2=30°.
Развернутый угол разбивается биссектрисой на два прямых угла (180°:2=90°), любой тупой угол разбивается биссектрисой на два острых угла.
Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки
Чтобы построить биссектрису угла без транспортира, используя только циркуль и линейку, нужно выполнить следующие действия (см. рисунок выше).
- Из вершины угла, любым радиусом, необходимо провести дугу окружности, чтобы она пересекла стороны угла
- Из каждой точки (их две) пересечения дуги и стороны угла, снова провести души окружности (другим радиусом)
- Через любую из точек пересечения дуг дополнительно построенных окружностей, провести луч из вершины угла, который и будет биссектрисой этого угла
Биссектриса углов треугольника
Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной.
У треугольника существуют три биссектрисы
, проведенные из каждой его вершины.
У биссектрисы угла треугольника существует масса особенных свойств, которые описаны в отдельной статье "
Биссектрисой треугольника называется отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла. К примеру, если угол треугольника 120 0 , то проведя биссектрису, мы построим два угла по 60 0 .
А так как в треугольнике имеется три угла, то можно провести три биссектрисы. Все они имеют одну точку пресечения. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник. По-другому эту точку пересечений называют инцентром треугольника.
При пересечении двух биссектрис внутреннего и внешнего угла, получается угол 90 0 . Внешний угол в треугольнике угол, смежный с внутренним углом треугольника.
Рис. 1. Треугольник, в котором проведены 3 биссектрисы
Биссектриса делит противоположную сторону на два отрезки, которые имеют связь со сторонами:
$${CL\over{LB}} = {AC\over{AB}}$$
Точки биссектрисы равноудаленные от сторон угла, это значит, что они находятся на одинаковом расстоянии от сторон угла. То есть, если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла треугольника, то эти перпендикуляры будут равны..
Если с одной вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана будет самым длинным отрезком, а высота самым коротким.
Некоторые свойства биссектрисы
В определенных видах треугольников, биссектриса имеет особые свойства. В первую очередь это относится к равнобедренному треугольнику. Эта фигура имеет две одинаковые боковые стороны, а третья называется основанием.
Если из вершины угла равнобедренного треугольника провести биссектрису к основанию, то она будет иметь свойства одновременно и высоты и медианы. Соответственно, длина биссектрисы совпадает с длиной медианы и высоты.
Определения:
- Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к противоположной стороне..
- Медиана – отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Рис. 2. Биссектриса в равнобедренном треугольнике
Это касается и равностороннего треугольника, то есть треугольника, в котором все три стороны равны.
Пример задания
В треугольнике ABC: BR биссектриса, причем AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Вычесть длину третей стороны.
Рис. 3. Биссектриса в треугольнике
Решение:
Биссектриса делит сторону треугольника в определенной пропорции. Воспользуемся этой пропорцией и выразим AR. После найдем длину третьей стороны как сумму отрезков, на которые эту сторону поделила биссектриса.
- ${AB\over{BC}} = {AR\over{RC}}$
- $RC={6\over{4}}*2=3 см$
Тогда весь отрезок AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 см.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Что мы узнали?
Изучив тему биссектрисы, мы узнали, что она делит угол на два равных угла. А если ее провести в равнобедренном либо равностороннем треугольнике к основанию, то она будет иметь свойства и медианы и высоты одновременно.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.2 . Всего получено оценок: 157.
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.
Свойства биссектрисы
1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.
2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()
3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.
4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в этот треугольник окружности.
Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
(доказательство формулы – )
, где
- длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
- стороны треугольника против вершин соответственно,
- длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,
Приглашаю посмотреть видеоурок , в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.
Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1
Возможно, вам будет интересен и небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы
Что такое биссектриса угла треугольника? На этот вопрос у некоторых людей с языка срывается небезызвестная крыса, бегающая по углам и делящая угол пополам". Если ответ должен быть "с юмором", то, возможно, он правилен. Но с научной точки зрения ответ на этот вопрос должен был бы звучать примерно так: начинающийся в вершине угла и делящий последний на две равные части". В геометрии эта фигура также воспринимается как отрезок биссектрисы до ее пересечения с противолежащей сторонй треугольника. Это не является ошибочным мнением. А что еще известно о биссектрисе угла, кроме ее определения?
Как и у любого геометрического места точек, у нее имеются свои признаки. Первый из них - скорее, даже не признак, а теорема, которую можно кратко выразить так: "Если биссектрисой разделить противоположную ей сторону на две части, то их отношение будет соответствовать отношению сторон большого треугольника".
Второе свойство, которое она имеет: точка пересечения биссектрис все углов называется инцентром.
Третий признак: биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в центре одной из трёх в нее вписанных окружностей.
Четвертое свойство биссектрисы угла треугольника в том, что если каждый из них равен, то последний является равнобедренным.
Пятый признак тоже касается равнобедренного треугольника и является главным ориентиром по его распознаванию на чертеже по биссектрисам, а именно: в равнобедренном треугольнике она одновременно выполняет роль медианы и высоты.
Биссектриса угла может быть построена с помощью циркуля и линейки:
Шестое правило гласит, что невозможно построить треугольник с помощью последних только при имеющихся биссектрисах, как и невозможно построить таким способом удвоение куба, квадратуру круга и трисекцию угла. Собственно говоря, это и есть все свойства биссектрисы угла треугольника.
Если вы внимательно читали предыдущий абзац, то, возможно, вас заинтересовало одно словосочетание. "Что такое трисекция угла?" - наверняка спросите вы. Триссектриса немного схожа с биссектрисой, но если начертить последнюю, то угол поделится на две равные части, а при построении трисекции - на три. Естественно, что биссектриса угла запоминается легче, ведь трисекцию в школе не учат. Но для полноты картины расскажу и о ней.
Триссектрису, как я уже сказала, нельзя построить только циркулем и линейкой, но ее возможно создать с помощью правил Фудзиты и некоторых кривых: улитки Паскаля, квадратрисы, конхоиды Никомеда, конических сечений,
Задачи по трисекции угла достаточно просто решаются при помощи невсиса.
В геометрии существует теорема о триссектрисах угла. Называется она теоремой Морли (Морлея). Она утверждает, что точки пересечения находящихся посередине триссектрис каждого угла будут вершинами
Маленький черный треугольник внутри большого всегда будет равносторонним. Эта теорема была открыта британским ученым Фрэнком Морли в 1904 году.
Вот сколько всего можно узнать о разделении угла: триссектриса и биссектриса угла всегда требуют детальных объяснений. А ведь здесь было приведено множество еще не раскрытых мной определений: улитка Паскаля, конхоида Никомеда и т.д. Не сомневайтесь, о них можно написать еще больше.
что такое биссектриса угла?
- Бесектриса — это крыса, которая ходит по углам и делит угол пополам
Свойства биссектрис
a2a1=cb
la=c+bcb(b+c+a)(b+ca)
la=c+b2bc cos2
la=hacos2
la=bca1a2Где:
- вот так как-то))
- Бесектриса развернутого угла делит его на 2 прямых угла
- это крыса делит на попалам
- Биссектриса (от лат. bi- двойное, и sectio разрезание) угла луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.
- Биссектриса (от лат. bi- двойное, и sectio разрезание) угла луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.
- Биссектриса это крыса которая бегает по углам и делит угол по полам
- луч делящий угол на 2 равных угла
- Биссектриса-это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам!
😉 - Биссектриса (от лат. bi- двойное, и sectio разрезание) угла луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.
Биссектриса угла (вместе с е продолжением) есть геометрическое место точек, равноудалнных от сторон угла (или их продолжений) .
Определение. Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.Любая из трех биссектрисс внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
Биссектриса угла треугольника может обозначать одно из двух: луч биссектриса этого угла или отрезок биссектрисы этого угла до ее пересечения со стороной треугольника.Свойства биссектрис
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD=ACBC.Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.
Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.a2a1=cb
la=c+bcb(b+c+a)(b+c#8722;a)
la=c+b2bc cos2
la=hacos2#8722;
la=bc#8722;a1a2Где:
la биссектриса, проведенная к стороне a,
a,b,c стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,
al,a 2 отрезки, на которые биссектриса lc делит сторону c,
внутренние углы треугольника при вершинах a, b, c соответственно,
ha высота треугольника, опущенная на сторону a. - биссектриса это линяя которая делит угол по палам
- Биссектриса (от лат. bi- двойное, и sectio разрезание) угла луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.
Биссектриса угла (вместе с е продолжением) есть геометрическое место точек, равноудалнных от сторон угла (или их продолжений).
- Биссектриса-это крыса которая ходит по углам, делит угол пополам
- биссектриса, такая крыса, бегает по углам и делит угол попалам)
- Делит угол пополам
- линия, которая его (угол) пополам делит.
- Бисектриса -это крыса бегает по углам и делит их пополам