МБНОУ «Лицей № 3 (искусств)»
Урок подготовила учитель математики
Сватковская Елена Александровна
ОТКРЫТЫЙ УРОК по ГЕОМЕТРИИ
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»
Тип урока : урок – обобщение.Цели урока : А) образовательные: обеспечение прочного и сознательного овладения системой геометрических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования; формирование алгоритмического мышления; формирование интереса к предмету; Б) развивающие: развивать у учащихся точную, экономную, информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства; творческую мыслительную деятельность учащихся на уроках посредством решения задач с не сформулированным вопросом, анализа данных, задач исследовательского характера; способствовать развитию интеллектуальных качеств личности школьников (самостоятельность, гибкость мышления, способность к «видению» проблемы, оценочным действиям, обобщению), быстрому переключению; способность формирования навыков индивидуальной и самостоятельной работы; формировать способность четко и ясно излагать мысли; применение теоремы Пифагора, следствия и и обратной ей теоремы для формирования навыков: нахождения неизвестного катета или гипотенузы из прямоугольного треугольника или элементов других фигур, для определения вида треугольника. В) воспитательные: воспитывать умение действовать по заданному алгоритму и конструировать новые; давать общее знакомство с методами познания действительности; понимание красоты и изящества математических рассуждений; прививать учащимся интерес к предмету посредством включения их в решение практических задач, применения информационных технологий; формировать умение четко и грамотно выполнять математические записи.
Развивать КОМПЕТЕНЦИИ:
Ответственность и адаптивность Коммуникативные умения Творчество и любознательность Критическое и системное мышление Умения работать с информацией и медиасредствами Умения ставить и решать проблемы Направленность на саморазвитие Социальная ответственность
ИКТ : использование на уроке презентации и компьютерного тестирования.
ПЛАН УРОКА :
- Повторение пройденного материала. (слайды 1-4)
Проверка домашней работы: задача индийского математика Бхаскары про тополь. (слайд 5-6)
Устный опрос. (слайды 7-13)
Проверка пройденного материала в форме тестирования с последующей проверкой самими учащимися. (слайды 14-17)
Решение задач по теме «Теорема Пифагора»:
- Домашнее задание: (слайды 26-29)
- Историческая справка (слайды 30-34).
Подведение итогов урока, выставление оценок.
ХОД УРОКА:
1. ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА.
На доску проецируются слайды 1-4 с выкладками теории.
2. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ.
На доску проецируются слайды 5-6. Учащиеся проверяют правильность выполнения
задачи про тополь индийского математика Бхаскары.
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?
Решение.
Пусть CD – высота ствола.
BD = АВ
По теореме Пифагора имеем
АB²=AC²+BC²,
АB²=9+16=25,
АВ = 5 .
CD = CB + BD,
CD = 3 + 5 =8.
Ответ: 8 футов.
(сos
(АС²=АО²+ОС²) в) Как называются прямоугольные треугольники, у которых стороны – целые
числа?
(Пифагоровы)
д) 2а
а) б) в)
(м)
Итак, треугольник КОВ– прямоугольный: АВ=2АК=2КВ; ОВ=ОК+КВ ОВ=ОК+КВ ОВ= 12+5=144+25=169 КВ=ОВ-КО=17-8=289-64=225 ОВ=13 (см). КВ=15 (см) АВ=2КВ=30 (см).
6. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.
Учащиеся получают распечатку с текстами задач.
а) Старинная задача из китайской «Математики в девяти книгах»: 
"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.
Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "
б) Задача с использованием свойств касательной к окружности:
К окружности с центром О проведена касательная МК, где М – точка касания.
Найдите:
а) МК, если ОК=12 м, а радиус окружности равен 8 мм;
б) радиус окружности, если МК=6 см, ОК=8 см.
в) Разбор памятки.
г) Разгадайте кроссворд:
- Одна из сторон прямоугольного треугольника; Действие, используемое в теореме Пифагора; Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу; Древнегреческий математик, чьим именем названа теорема, изученная на уроке; Фигура, о которой идет речь в теореме Пифагора; Вид треугольника, для которого верно утверждение "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов"; Степень, в которую возводят и гипотенузу, и катеты в теореме Пифагора.
7. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.
На доске показываются слайды 29-33 с информацией о рождении Пифагора, открытии теоремы Пифагора. Учащиеся, заранее готовившие материал, зачитывают фрагменты.
а) Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около ста лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество.
б) За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны.
в) Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие».
г)Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один:
«Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий).
д) Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.
8. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.
Как символ вечного союза
Как вечной дружбы знак простой
Связала ты, гипотенуза,
Навеки катеты с собой.
Скрывала тайну ты,
Не скоро явился некий мудрый грек
И теоремой Пифагора
Тебя прославил он навек.
Цели:
- систематизировать, обобщить знания и умения по применению теоремы Пифагора при решении задач, показать их практическое применение;
- содействовать развитию математического мышления;
- воспитывать познавательный интерес.
Оборудование: потрет Пифагора, рисунок и макет телевизионной башни, таблицы для устного счета.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
2. Работа по готовым чертежам
– Можно ли по этим условиям найти площадь
треугольника?
– Какой еще вопрос можно поставить к данным
задачам?
– Найдите площади треугольников.
– Какую теорему вы применяли для нахождения
сторон треугольников?
– Как называются треугольники 1, 4 и 3? (Пифагоровые)
– Приведите еще примеры таких треугольников.
– Является ли прямоугольным треугольник со
сторонами 6, 29 и 25? Какую теорему вы использовали
для доказательства?
В это время 4 ученика работают самостоятельно.
1. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ 10 см и образует со стороной угол равный 30 о. (25√3 см 2)
2. В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, большая боковая сторона – 20 см. Найдите площадь трапеции. (224 см 2)
3. Самостоятельная работа 3-х уровней по готовым чертежам.
1 вариант
| 1) а = 3 см |
2) с = 10 см |
3) а =10 см |
|
||
2 вариант
1)
|
2)
|
3)
|
3 вариант
Самопроверка работ с помощью таблицы ответов.
4. Решение задач
Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.
Дано: АВСD – ромб, ВD = 10 cм, АС = 24 см
Найти: АВ и S ромба
1. ВD перпендикулярна АС по свойству диагоналей
ромба.
2. Рассмотрим треугольник АВО: О = 90, ВО = 5 см,
АО = 12 см. По теореме Пифагора АВ = ВО 2 + АО 2
АВ = 13 см
3. S = 1/2 * 10 * 24 = 120 см 2 .
Ответ: АВ = 13 см, S = 120 см 2
Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АВ и СD, если АВ = 10 см, ВС = DА = 13 см, СD = 20 см.
Дано: АВСD – трапеция, АВ и СD основания, АВ = 10
СD = 20 см, ВС = DA = 13 см
Найти: S?
1. Проведем высоту АН и рассмотрим треугольник
АDН: Н = 90, АD = 13 cм,
DН = (20 – 10) : 2 = 5 см.
АН = 13 2 – 5 2 = 12 см
2. S = (20 + 10) : 2 * 12 = 180 см 2
Ответ: S = 180cм 2 .
– Какие формулы вы использовали при решении задач? А какие формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?
Сегодня Маша Л. познакомит вас с формулой для вычисления площади равностороннего треугольника по его стороне. (Ученица самостоятельно готовила задание дом.)
S = а 2 * √3/4, где а – сторона треугольника.
Решение задачи на применение данной формулы.
Треугольник состоит из 4-х треугольников со стороной 1см. Сколько равносторонних треугольников вы видите? Чему равна площадь данного треугольника?
Решение задачи: 5 равносторонних треугольников, а = 2 см, тогда S = √3 кв.ед.
5. Практическое задание
Отчет учеников о проделанной работе: В нашем поселке есть телевышка, высота которой 124 м. Чтобы она стояла вертикально, требуются растяжки, они несколько уровневые. Нам была поставлена задача выяснить, сколько метров троса потребуется для 4 нижних растяжек.
Так как растяжки одинаковой длины, то задача свелась к нахождению длины одной растяжки. Для этого мы выделили прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояния АС и СВ. Мы узнали, что трос крепится на высоте 40 м (АС = 40 м) и измерили расстояние от основания вышки до крепления троса на поверхности (СВ = 24 м). По теореме Пифагора АВ = 46,7 м, значит троса потребуется не менее 186,8 м.
Во время отчета демонстрируется макет телевышки и ее рисунок.
6. Итог урока
7. Домашнее задание
Закончить урок словами: Говорят, что наука отличается от искусства тем,что в то время как создания искусства вечны, великие творения науки безнадежно стареют. К счастью это не так, теорема Пифагора этому пример, мы применяли и будем применять ее при решении задач.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 1 вариант
В квадрате АВСД сторона АВ равна 6 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 2 вариант
Найдите гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами 5 и 12 см. Сделайте рисунок.
Найдите катет в прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна 17 м, а второй катет равен 8 м. Сделайте рисунок
В квадрате АВСД сторона АВ равна 10 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок
______________________________________________________________________________________
В прямоугольнике длина равна √40, а ширина - 9, найдите диагональ прямоугольника. Сделайте рисунок.
В равнобедренном треугольнике МРК, основание 20 см, найдите высоту РН, проведенную к основанию треугольника, если боковая сторона МР равна 26. Сделайте рисунок.
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см. Сделайте рисунок.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 3 вариант
Найдите гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 см. Сделайте рисунок.
Найдите катет в прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна 13 м, а второй катет равен 12 м. Сделайте рисунок
В квадрате АВСД сторона АВ равна 11 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок
______________________________________________________________________________________
В прямоугольнике длина равна √40, а ширина - 9, найдите диагональ прямоугольника. Сделайте рисунок.
В равнобедренном треугольнике МРК, основание 20 см, найдите высоту РН, проведенную к основанию треугольника, если боковая сторона МР равна 26. Сделайте рисунок.
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см. Сделайте рисунок.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА» 8 КЛАСС, 4 вариант
Найдите гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 см. Сделайте рисунок.
Найдите катет в прямоугольном треугольнике, если гипотенуза равна 17 м, а второй катет равен 8 м. Сделайте рисунок
В квадрате АВСД сторона АВ равна 70 см. Чему равна диагональ квадрата ВД? Сделайте рисунок
______________________________________________________________________________________
В прямоугольнике длина равна √40, а ширина - 9, найдите диагональ прямоугольника. Сделайте рисунок.
В равнобедренном треугольнике МРК, основание 20 см, найдите высоту РН, проведенную к основанию треугольника, если боковая сторона МР равна 26. Сделайте рисунок.
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см. Сделайте рисунок.
Слайд 2
«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора». Иоганн Кеплер
Слайд 3
Закончите предложение:
Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равен ____ 90°
Слайд 4
Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются _________ катетами
Слайд 5
Сторона треугольника, лежащая против прямого угла, называется ____________ Закончите предложение: гипотенузой
Слайд 6
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен ____________ Закончите предложение: сумме квадратов катетов
Слайд 7
Сформулированное выше предложение носит название ____________ Теорема Пифагора c² = a² + b²
Слайд 8
Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник – ____________ Закончите предложение: прямоугольный
Слайд 9
S=½d1 d2 S=a² S=ab S=½ah S=ah Проведите линии так, чтобы соответствие между фигурой и формулой вычисления её площади было верным S=½ (a +b)h S=½ ab
Слайд 10
Долина устных задач Остров Незнаек Полянка Здоровья Город Мастеров Крепость Формул Историческая тропинка
Слайд 11
Долина устных задач
Слайд 12
Н S Р 12 см 9 см 15 см? Найдите: SP
Слайд 13
К? 12 см 13 cм N М Найдите: КN 5 cм
Слайд 14
В? 8 см 17 см А D С Найдите: АD 15 cм
Слайд 15
Остров Незнаек
Слайд 16
Задача индийского математика XII века Бхаскары "На берегу реки рос тополь одинокий.Вдруг ветра порыв его ствол надломал.Бедный тополь упал. И угол прямойС теченьем реки его ствол составлял.Запомни теперь, что в этом месте рекаВ четыре лишь фута была широкаВерхушка склонилась у края реки.Осталось три фута всего от ствола,Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:У тополя как велика высота?"
Слайд 17
Из одной точки на земле отправились в путь автомобиль и самолет. Автомобиль преодолел расстояние 8 км, когда самолет оказался на высоте 6 км. Какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта? Задача
Слайд 18
8 км 6 км? км
Слайд 19
Решаем по учебнику задачу № 494(стр. 133)
Слайд 20
Полянка Здоровья
Слайд 21
(580 - 500 г. до н.э.) Пифагор
Слайд 22
Дабы познать науки, Пифагор много путешествовал, в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне он организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так возникла знаменитая «Пифагорейская школа».
Слайд 23
Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Однако, в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см.
Для того, чтобы решить эту задачу, необходимо нарисовать треугольник, причём непременно прямоугольный. Для удобства дальнейшего решения, я нарисую его лежащим на гипотенузе.
Теперь проведём высоту. Что это вообще такое? Это линия, опущенная из угла треугольника на противоположную сторону, и образующая с этой стороной прямой угол.
Откуда взялась цифра корень из 34 см? Найти гипотенузу треугольника с известными катетами очень легко по теореме Пифагора: (квадрат одного катета)+(квадрат второго катета)=(квадрат гипотенузы) = 9 + 25 = 34.
Гипотенуза = корень из квадрата гипотенузы = корень из 34 см.
После проведения высоты появилось два внутренних треугольника. В нашей задаче, собственно, обозначение буквами ни к чему, но для наглядности:
Итак, был треугольник ABC, в нём опустили высоту BD на гипотенузу AC. Получилось два внутренних прямоугольных треугольника: ADB и BDC. Мы не знаем, как высота поделила гипотенузу, поэтому обозначим меньшую неизвестную часть - AD - через х, а большую - DC - через разность AC и х, т.е. (корень из 34)-х см. 
Обозначим искомую высоту через y. Теперь, по теореме Пифагора, из двух внутренних прямоугольных треугольником составим систему уравнений:
x^2 + y^2 = 9
((корень из 34)-х)^2 + y^2 = 25
Выразим у^2 из первого уравнения: y^2 = 9 - x^2
Подставим, предворительно упростив второе уравнение: ((корень из 34)-х)^2 + y^2 = 34 - 2*(корень из 34)*х + x^2 + y^2 = 34 - 2*(корень из 34)*х + x^2 + 9 - x^2 = 43 - 2*(корень из 34)*х = 25
2*(корень из 34)*х = 18
x = 9/(корень из 34)
Ура! Почти готово! Теперь опять же, по теореме Пифагора, из треугольника ABD:
(квадрат гипотенузы)-((найденный х) в квадрате) = квадрат искомой высоты
AB^2 - x^2 = 9 - 81/34 = 225/34 = h^2
h = 15/(корень из 34)