Для теории математического моделирования необходимо знать цель моделирования и представить в математическом виде объект моделирования. Слово «модель» происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Наиболее простым и наглядным примером моделирования являются географические и топографические карты. Моделями являются структурные формулы в химии. Модель как средство познания стоит между логическим мышлением и изучаемым процессом, явлением.
Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом В. Замещаемый объект называется оригиналом, замещающий - моделью. Таким образом, модель - это заместитель оригинала. В зависимости от цели замещения модель одного и того же оригинала может быть различной. В науке и технике основной целью моделирования является изучение оригинала при помощи более простой его модели. Замещение одного объекта другим имеет смысл только в случае их определенного сходства, аналогии.
Математическая модель является приближенным, выраженным в математических терминах, представлением объектов, концепций, систем или процессов. Объекты, концепции, системы или процессы, подлежащие моделированию, называют объектами моделирования (ОМ).
Все объекты и явления в большей или меньшей степени взаимосвязаны, но при моделировании пренебрегают большинством взаимосвязей и объект моделирования рассматривают как отдельную систему. Если объект моделирования определен как отдельная система, то необходимо ввести принцип селективности, обеспечивающий выбор требуемых связей с внешней средой. Например, при моделировании электронных схем пренебрегают тепловым, акустическим, оптическим и механическим взаимодействием с внешней средой и рассматривают только электрические переменные. Принцип селективности вводит в систему ошибку, т. е. разницу в поведении модели и объекта моделирования. Следующим важным фактором моделирования является принцип причинности, связывающий в системе входные и выходные переменные.
Для количественной оценки системы вводят понятие «состояния». Например, под состоянием электронной схемы понимают значения напряжений и токов в электронной схеме в данный момент времени.
При выводе математической модели аналитически чаще всего используются широко известные категории: законы, структуры и параметры.
Если какая-либо переменная величина у зависит от другой переменной х, то первая величина является функцией второй. Эта зависимость записывается в виде у = f(x) или у = у(х). В такой записи переменная х называется аргументом. Важной характеристикой функции является ее производная, процесс нахождения которой называется дифференцированием. Уравнения, которые по математическим правилам связывают неизвестную функцию, ее производные и аргументы, называются дифференциальными. Процесс, обратный дифференцированию, позволяющий по заданной производной найти саму функцию, называется интегрированием.
Рассмотрим частный случай, когда функцией является путь, зависящий от аргумента - времени. Тогда производная пути по времени - это скорость, а производная от скорости (или вторая производная от пути) - ускорение. Если йзвестна, например, скорость, то интегрированием находят путь, пройденный телом при движении за определенное время. Если известно только ускорение, то для нахождения пути операцию интегрирования производят дважды. При этом после вычисления первого интеграла становится известной скорость.
Конечная цель создания математических моделей - установление функциональных зависимостей между переменными. Функциональная зависимость для каждой конкретной модели может принимать строго определенный вид. Когда моделируется устройство, на вход которого поступает сигнал х у а на выходе появляется сигнал у, то связь можно записать в виде таблицы. Для этого весь диапазон изменения входного и выходного сигналов разбивается на некоторое число участков. Каждому участку диапазона изменения входного сигнала будет соответствовать определенный участок диапазона изменения выходного сигнала. В сложных системах, где имеется несколько входов и несколько выходов, аналитические зависимости выражаются системами дифференциальных уравнений.
* Законы обычно формулируются для частных областей, Как, например, законы Кирхгофа, Ньютона. Применение этих законов к системе обычно фокусирует наше внимание на единственной области науки и техники. Используя законы Кирхгофа и уравнения Максвелла для анализа электрической системы, исследователь игнорирует другие (например, тепловые) процессы в системе.
Создание математической модели требует знания присутствующих в системе элементов и их взаимосвязей. Параметрами математической модели (ММ) являются входящие в системы уравнений различные коэффициенты. Эти коэффициенты вместе с уравнениями и граничными условиями образуют законченную ММ.
Любую математическую модель можно получить в результате: 1) прямого наблюдения явления, прямого его изучения и осмысливания (модели являются феноменологическими); 2) некоторого процесса дедукции, когда новая модель получается как частный случай из некоторой более общей модели (такие модели называются асимптотическими); 3) некоторого процесса индукции, когда новая модель является естественным обобщением элементарных моделей (такие модели называются составными, или моделями ансамблей).
Все системы существуют во времени и в пространстве. Математически это значит, что время и три пространственные переменные могут рассматриваться в качестве независимых переменных.
Существует много признаков классификации математических моделей по признаку использования тех или иных переменных в качестве независимых, представленных в непрерывной или дискретной форме; ММ классифицируют следующим образом:
1) модели с распределенными параметрами (все независимые переменные берутся в непрерывной форме);
2) модели с сосредоточенными параметрами (все независимые пространственные переменные дискретные, а временная переменная непрерывна);
3) модели с дискретными параметрами (все независимые переменные берутся в дискретной форме).
На рис. 3.10, а...ж показана примерная классификация моделей. Все модели можно разделить на вещественные и идеальные (рис. 3.10, а). В данной главе рассматриваются только идеальные модели, которые объективны по своему содержанию (отражая реальную действительность), но субъективны по форме и не могут существовать вне ее. Идеальные модели существуют лишь в познании людей и функционируют по законам логики. К логическим моделям относятся различные знаковые модели. Существенным моментом создания любой знаковой модели является процедура формализации (формулы, алфавит, системы счислений).
В настоящее время в ряде областей науки и техники понятие модели трактуется не в духе классической физики, как наглядная, например, механическая система, а в духе современного этапа познания как абстрактная логико-математическая структура.
В современном моделировании наряду с возрастанием в познании роли абстрактно-логических моделей существует другая тенденция, связанная с широким применением кибернетических функционально-информационных моделей.
Своеобразие кибернетического моделирования состоит в том, что объективное сходство модели и моделируемого объекта касается только их функций, областей применения, связи с внешней средой. Основа информационного подхода к изучению кибернетических процессов - абстрагирование.
Рассмотрим модели, которые имеют место в САПР БИС: структурные, функциональные, геометрические, знаковые, мысленные, аналитические, численные и имитационные.
Структурные модели воспроизводят состав элементов объекта или системы, их расположение в пространстве и взаимосвязи, т. е. структуру системы. Структурные модели могут быть и вещественными (макеты), и идеальными (на- | пример, машиностроительные чертежи, топология печатной | платы и топология ИС).
Функциональные модели имитируют только способ поведения оригинала, его функциональную зависимость от внешней среды. Наиболее характерным примером служат модели, построенные на концепции «черного ящика».
В этих моделях удается воспроизвести функционирование £ оригинала, полностью отвлекаясь от его содержимого и структуры, связывая с помощью математического соотношения различные входные и выходные величины.
Рис. 3.10. Общая классификация моделей (а), а также моделей натурных (б), физических (в), вещественных математических (г), наглядных (д), знаковых (е), идеальных математических (ж)
Геометрические модели отражают только структуру объекта и имеют большое значение в связи с проектированием электронных систем. Эти модели, построенные на основе геометрического подобия, позволяют решать задачи, связанные с оптимальным размещением объектов, прокладкой трасс на печатных платах и интегральных схемах.
Знаковые модели представляют собой упорядоченную запись символов (знаков). Знаки взаимодействуют между собой не по физическим законам, а по правилам, установленным в той или иной области знаний, или, как принято говорить, согласно природе знаков. Знаковые модели имеют в настоящее время чрезвычайно широкое распространение. Практически каждая область знаний - лингвистика, программирование, электроника и многие другие - выработала свою символику для описания моделей. Таковыми являются программы, схемы и т. п.
Мысленные модели являются продуктом чувственного восприятия и деятельности абстрактного мышления. К мысленным моделям можно отнести известную планетарную модель атома Бора. Для передачи этих моделей их представляют в виде словесного или знакового описания, т. е. мысленные модели могут фиксироваться в виде различных знаковых систем.
Аналитические модели позволяют получить явные зависимости необходимых величин от параметров и переменных, характеризующих изучаемое явление. Аналитическое решение математического соотношения является обобщенным описанием объекта
Численные модели характеризуются тем, что значения необходимых величин можно получить в результате применения соответствующих численных методов. Все численные методы позволяют получить только частную информацию относительно искомых величин, поскольку для своей реализации требуют задания конкретных значений всех параметров, входящих в математическое соотношение. Для каждой искомой величины приходится по-своему преобразовывать математическую модель и применять соответствующую численную процедуру.
Имитационные модели реализуются на ЭВМ в виде моделирующих алгоритмов (программ), позволяющих вычислять значения выходных переменных и определять новое состояние, в которое переходит модель при заданных значениях входных переменных, параметров и исходного состояния модели. Имитационное моделирование в отличие от численного характеризуется независимостью моделирующего алгоритма от типа информации, которую необходимо получить в результате моделирования. Достаточно универсальной, гибкой и эффективной является математическая модель, которая представляется в абстрактной математической форме посредством переменных, параметров, уравнений и неравенств.
В ММ входят следующие элементы: переменные (зависимые и независимые); константы или фиксированные параметры (определяющие степень связи переменных между собой); математические выражения (уравнения или/и неравенства, объединяющие между собой переменные и параметры); логические выражения (определяющие различные ограничения в математической модели); информация (алфавитно-цифровая и графическая).
Математические модели классифицируют по следующим критериям: 1) поведению моделей во времени; 2) видам входной информации, параметров и выражений, составляющих математическую модель; 3) структуре математической модели; 4) типу используемого математического аппарата.
Применительно к интегральным схемам можно предложить следующую классификацию.
В зависимости от характера свойств интегральной схемы математические модели делятся на функциональные и структурные.
Функциональные модели отображают процессы функционирования объекта, эти модели имеют форму систем уравнений.
При решении ряда задач проектирования широкое применение находят математические модели, отображающие только структурные свойства проектируемого объекта; такие структурные модели могут иметь форму матриц, графов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве, наличие непосредственной связи в виде проводников и т. д. Структурные модели используют в том случае, когда задачи структурного синтеза удается формализовать и решать, абстрагируясь от особенности физических процессов в объекте.
Рис. 3.11. Структурная модель инвертора = ит. д.)
По методу получения функциональные математические модели делятся на теоретические и формальные.
Теоретические модели получаются на основе изучения физических закономерностей, причем структура уравнений и параметры моделей имеют четкое физическое обоснование.
Формальные модели получаются при рассмотрении свойств реального объекта как черного ящика.
Теоретический подход позволяет получать более универсальные модели справедливые для различных режимов работы и для широких диапазонов изменения внешних параметров.
Ряд признаков в классификации связан с особенностями уравнений, составляющих математическую модель; в зависимости от линейности или нелинейности уравнений модели делят на линейные и нелинейные.
В зависимости от мощности множества значений переменных модели делят на непрерывные и дискретные (рис. 3.12).
В непрерывных моделях фигурирующая в них переменная непрерывна или кусочно-непрерывна.
Переменные в дискретных моделях - дискретные величины, множество которых счетно.
Рис. 3.12. Непрерывные и дискретные переменные
По форме связи между выходными, внутренними и внешними параметрами различают модели в виде систем уравнений и модели в виде явной зависимости выходных параметров от внутренних и внешних. Первые из них называются алгоритмическими, а вторые - аналитическими.
В зависимости от того, учитывают ли уравнения модели инерционность процессов в объекте проектирования, различают модели динамические и статические.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Математич еские модели и их классификация
Математическая модель - это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта.
Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами. математический модель вектор физический
Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).
Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с множествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.
Математическое моделирование - метод качественного и (или) количественного описания процесса с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного исследования.
Ввиду разнообразия применяемых математических моделей, их общая классификация затруднена. В литературе обычно приводят классификации, в основу которых положены различные подходы. Один из таких подходов связан с характером моделируемого процесса, когда выделяют детерминированные и вероятностные модели. Наряду с такой широко распространенной классификацией математических моделей существуют и другие.
Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата. В ней можно выделить следующие их разновидности.
Математические модели с сосредоточенными параметрами
Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.
Математические модели с сосредоточенными параметрами широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные - концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.
Математические модели с распределенными параметрами
Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.
Математические модели, основанные на экстремальных принципах
Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике. Например, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов. Однако и в других науках экстремальные принципы играют существенную роль.
Основной принцип классификации математических моделей
В качестве основного принципа классификации математических моделей часто используют области их применения. При таком подходе выделяются следующие области применения:
физические процессы;
технические приложения, в том числе управляемые системы, искусственный интеллект;
жизненные процессы (биология, физиология, медицина);
большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные, экономические, экологические);
гуманитарные науки (языкознание, искусство).
(Области применения указаны в порядке, соответствующем убыванию уровня адекватности моделей).
Виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные. Линейные и нелинейные, динамические и статические. непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.
По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.
Классификация математических моделей
В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:
· дескриптивные (описательные) модели;
· оптимизационные модели;
· многокритериальные модели;
· игровые модели.
Поясним это на примерах.
Дескриптивные (описательные) модели. Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.
Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.
Многокритериальные модели. Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.
Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики -- теория игр, -- изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.
Численный эксперимент выясняет, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на компьютере, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности.
По сравнению с натурным экспериментом математическое моделирование имеет следующие преимущества:
* экономичность (сбережение ресурсов реальной системы);
* возможность моделирования гипотетических, т.е. не реализованных в натуре объектов;
* возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроизводимых в натуре (критический режим ядерного реактора, работа системы противоракетной обороны);
* возможность изменения масштаба времени;
* легкость многоаспектного анализа;
* большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей;
* универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы.
Достоверность численной модели.
Поиск новых средств доказательства достоверности численных результатов представляет собой насущную проблему при разработке современных вычислительных технологий. Один из наиболее перспективных подходов заключается в применении методов интервальной математики, которые позволяют получить численное решение в виде интервала с гарантированными границами. В настоящее время в этой области достигнут значительный успех, для многих сложных задач получены численные решения. При этом сама процедура вычислительного процесса одновременно является доказательством существования (и даже единственности) решения.
Трудности прямого применения таких методов в ряде случаев заключаются в том, что интервал неопределенности исходных данных слишком широк и, как следствие, результат имеет весьма большую погрешность. В частности, такая ситуация возникает при учете возможности ошибок программирования при решении нелинейных задач математ
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сущность математического моделирования и формализации. Выявление управляемых и неуправляемых параметров. Математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными).
курсовая работа , добавлен 17.12.2009
Моделирование экономических систем: основные понятия и определения. Математические модели и методы их расчета. Некоторые сведения из математики. Примеры задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования.
лекция , добавлен 15.06.2004
Определение понятий "функциональные и структурные математические модели", рассмотрение их значение, главных функций и целей. Составление модели "черного ящика", простейшее отображение реальной системы. Метод исследования объектов с помощью их моделей.
реферат , добавлен 17.11.2015
Задача и методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейными зависимостями между переменными и линейным критерием. Построение экономико-математической задачи и ее решение с помощью пакета WinQSB, графический анализ чувствительности.
курсовая работа , добавлен 16.09.2010
Модели зависимости спроса от дохода (кривые Энгеля). Эластичность спроса по доходу. Модели производственных затрат и прибыли предприятия, точка безубыточности. Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными. Модель мультипликатора.
презентация , добавлен 07.08.2013
Расчет оптимального числа поездов, при которых перевозится максимальное число пассажиров, плана перевозки с минимальными расходами. Выбор стратегии выпуска новой продукции. Построение регрессионной модели зависимости расходов на питание от дохода семьи.
контрольная работа , добавлен 28.03.2010
Характеристика территориально распределённых методов (метод потенциалов, составление расписания перевозок, поиск кратчайшего пути в графе по алгоритму Флойда) и их математические модели. Информационное и программное обеспечение транспортной логистики.
дипломная работа , добавлен 31.10.2015
Решение задач линейного программирования на примере ПО "Гомсельмаш". Алгоритм и экономико-математические методы решения транспортной задачи. Разработка наиболее рациональных путей, способов транспортирования товаров, оптимальное планирование грузопотоков.
курсовая работа , добавлен 01.06.2014
Основные математические модели макроэкономических процессов. Мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца. Различные модели банковских операций. Модели межотраслевого баланса Леонтьева. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса.
контрольная работа , добавлен 21.08.2010
Построение одноиндексной математической модели задачи линейного программирования, ее решение графическим методом. Разработка путей оптимизации сетевой модели по критерию "минимум исполнителей". Решение задачи управления запасами на производстве.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
По курсу
«Математическое моделирование машин и транспортных систем»
В курсе рассмотрены вопросы, связанные с математическим моделированием, с формой и принципом представления математических моделей. Рассмотрены численные методы решения одномерных нелинейных систем. Освещаются вопросы компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента. Рассмотрены методы обработки данных, полученных в результате научных или производственных экспериментов; исследования различных процессов, выявления закономерностей в поведении объектов, процессов и систем. Рассмотрены методы интерполирования и аппроксимации опытных данных. Рассмотрены вопросы, связанные с компьютерным моделированием и решением нелинейных динамических систем. В частности, рассмотрены методы численного интегрирования и решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого, второго и более высоких порядков.
Лекция: Математическое моделирование. Форма и принципы представления математических моделей
В лекции рассмотрены общие вопросы математического моделирования. Приведена классификация математических моделей.
ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.
Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.
Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.
Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.
Моделирование широко используются в различных сферах человеческой деятельности, особенно в сферах проектирования и управления, где особенными являются процессы принятия эффективных решений на основе получаемой информации.
Модель всегда строится с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие - нет. Модель представляет собой как бы проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда в зависимости от целей можно получить ряд проекций объективной реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества несущественного.
Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.
Все модели можно разделить на два класса:
1. вещественные,
2. идеальные.
В свою очередь вещественные модели можно разделить на:
1. натурные,
2. физические,
3. математические.
Идеальные модели можно разделить на:
1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.
Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.
Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).
Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.
Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.
Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.
Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.
В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.
Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования - математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной.
Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.
Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.
В общем случае математическая модель реального объекта, процесса или системы представляется в виде системы функционалов
Ф i (X,Y,Z,t)=0,
где X - вектор входных переменных, X= t ,
Y - вектор выходных переменных, Y= t ,
Z - вектор внешних воздействий, Z= t ,
t - координата времени.
Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.
Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель. Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).
Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.
Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.
По принципам построения математические модели разделяют на:
1. аналитические;
2. имитационные.
В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей.
Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:
1. уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
2. аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование),
3. задачи оптимизации,
4. стохастические проблемы.
Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден использовать имитационное моделирование.
В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Можно сказать, что имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.
В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:
1. детерминированные,
2. стохастические.
В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.
Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.
По виду входной информации модели разделяются на:
1. непрерывные,
2. дискретные.
Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная. И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.
По поведению моделей во времени они разделяются на:
1. статические,
2. динамические.
Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.
По степени соответствия между математической моделью и реальным объектом, процессом или системой математические модели разделяют на:
1. изоморфные (одинаковые по форме),
2. гомоморфные (разные по форме).
Модель называется изоморфной, если между нею и реальным объектом, процессом или системой существует полное поэлементное соответствие. Гомоморфной - если существует соответствие лишь между наиболее значительными составными частями объекта и модели.
В дальнейшем для краткого определения вида математической модели в приведенной классификации будем пользоваться следующими обозначениями:
Первая буква:
Д - детерминированная,
С - стохастическая.
Вторая буква:
Н - непрерывная,
Д - дискретная.
Третья буква:
А - аналитическая,
И - имитационная.
1. Отсутствует (точнее не учитывается) влияние случайных процессов, т.е. модель детерминированная (Д).
2. Информация и параметры - непрерывные, т.е. модель - непрерывная (Н),
3. Функционирование модели кривошипно-шатунного механизма описано в виде нелинейных трансцендентных уравнений, т.е. модель - аналитическая (А)
2. Лекция: Особенности построения математических моделей
В лекции описан процесс построения математической модели. Приведен словесный алгоритм процесса.
Для использования ЭВМ при решении прикладных задач прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.
Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.
Для построения математической модели необходимо:
1. тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
2. выделить его наиболее существенные черты и свойства;
3. определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
4. описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
5. выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
6. определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.
Математическое моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:
1. построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
2. проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
3. корректировка модели;
4. использование модели.
Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:
1. природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т.д.
2. требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.
На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.
Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.
Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.
Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола.
Однако модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник. В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.
С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.
Рассмотрим другой пример: исследование движения кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1).
Рис. 2.1.
Для кинематического анализа этого механизма, прежде всего, необходимо построить его кинематическую модель. Для этого:
1. Заменяем механизм его кинематической схемой, где все звенья заменены жесткими связями;
2. Пользуясь этой схемой, мы выводим уравнение движения механизма;
3. Дифференцируя последнее, получаем уравнения скоростей и ускорения, которые представляют собой дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.
Запишем эти уравнения:
где С 0 – крайнее правое положение ползуна С:
r – радиус кривошипа AB;
l – длина шатуна BC;
– угол поворота кривошипа;
Полученные трансцендентные уравнения представляют математическую модель движения плоского аксиального кривошипно-шатунного механизма, основанную на следующих упрощающих предположениях:
1. нас не интересовали конструктивные формы и расположение масс, входящих в механизм тел, и все тела механизма мы заменили отрезками прямых. На самом деле, все звенья механизма имеют массу и довольно сложную форму. Например, шатун – это сложное сборное соединение, форма и размеры которого, конечно, будут влиять на движение механизма;
2. при построении математической модели движения рассматриваемого механизма мы также не учитывали упругость входящих в механизм тел, т.е. все звенья рассматривали как абстрактные абсолютно жесткие тела. В действительности же, все входящие в механизм тела – упругие тела. Они при движении механизма будут как-то деформироваться, в них могут даже возникнуть упругие колебания. Это все, конечно, также будет влиять на движение механизма;
3. мы не учитывали погрешность изготовления звеньев, зазоры в кинематических парах A, B, C и т.д.
Таким образом, важно еще раз подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.
Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.
Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.
Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.
Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.
Лекция 3. Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент. Решение математических моделей
Компьютерное моделирование как новый метод научных исследований основывается на:
1. построении математических моделей для описания изучаемых процессов;
2. использовании новейших вычислительных машин, обладающих высоким быстродействием (миллионы операций в секунду) и способных вести диалог с человеком.
Суть компьютерного моделирования состоит в следующем: на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель. Например, располагая уравнением, описывающим протекание того или иного процесса, можно изменяя его коэффициенты, начальные и граничные условия, исследовать, как при этом будет вести себя объект. Более того, можно спрогнозировать поведение объекта в различных условиях.
Вычислительный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на ЭВМ. Он позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство.
Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент как новый метод научного исследования заставляет совершенствовать математический аппарат, используемый при построении математических моделей, позволяет, используя математические методы, уточнять, усложнять математические модели. Наиболее перспективным для проведения вычислительного эксперимента является его использование для решения крупных научно-технических и социально-экономических проблем современности (проектирование реакторов для атомных электростанций, проектирование плотин и гидроэлектростанций, магнитогидродинамических преобразователей энергии, и в области экономики – составление сбалансированного плана для отрасли, региона, для страны и др.).
В некоторых процессах, где натурный эксперимент опасен для жизни и здоровья людей, вычислительный эксперимент является единственно возможным (термоядерный синтез, освоение космического пространства, проектирование и исследование химических и других производств).
Для проверки адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы результаты исследований на ЭВМ сравниваются с результатами эксперимента на опытном натурном образце. Результаты проверки используются для корректировки математической модели или решается вопрос о применимости построенной математической модели к проектированию либо исследованию заданных объектов, процессов или систем.
В заключение подчеркнем еще раз, что компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент позволяют свести исследование "нематематического" объекта к решению математической задачи. Этим самым открывается возможность использования для его изучения хорошо разработанного математического аппарата в сочетании с мощной вычислительной техникой. На этом основано применение математики и ЭВМ для познания законов реального мира и их использования на практике.
В задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем математические модели, как правило, нелинейны, т.к. они должны отражать реальные физические нелинейные процессы, протекающие в них. При этом параметры (переменные) этих процессов связаны между собой физическими нелинейными законами. Поэтому в задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем чаще всего используются математические модели типа ДНА.
Согласно классификации приведенной в лекции 1:
Д – модель детерминированная, отсутствует (точнее не учитывается) влияние случайных процессов.
Н – модель непрерывная, информация и параметры непрерывны.
А – модель аналитическая, функционирование модели описывается в виде уравнений (линейных, нелинейных, систем уравнений, дифференциальных и интегральных уравнений).
Итак, мы построили математическую модель рассматриваемого объекта, процесса или системы, т.е. представили прикладную задачу как математическую. После этого наступает второй этап решения прикладной задачи – поиск или разработка метода решения сформулированной математической задачи. Метод должен быть удобным для его реализации на ЭВМ, обеспечивать необходимое качество решения.
Все методы решения математических задач можно разделить на 2 группы:
1. точные методы решения задач;
2. численные методы решения задач.
В точных методах решения математических задач ответ удается получить в виде формул.
Например, вычисление корней квадратного уравнения:
или, например, вычисление производных функций:
или вычисление определенного интеграла:
Однако, подставляя числа в формулу в виде конечных десятичных дробей, мы все равно получаем приближенные значения результата.
Для большинства задач, встречающихся на практике, точные методы решения или неизвестны, или дают очень громоздкие формулы. Однако, они не всегда являются необходимыми. Прикладную задачу можно считать практически решенной, если мы сумеем ее решить с нужной степенью точности.
Для решения таких задач разработаны численные методы, в которых решение сложных математических задач сводится к последовательному выполнению большого числа простых арифметических операций. Непосредственная разработка численных методов относится к вычислительной математике.
Примером численного метода является метод прямоугольников для приближенного интегрирования, не требующий вычисления первообразной для подынтегральной функции. Вместо интеграла вычисляется конечная квадратурная сумма:
x 1 =a – нижний предел интегрирования;
x n+1 =b – верхний предел интегрирования;
n – число отрезков, на которые разбит интервал интегрирования (a,b);
– длина элементарного отрезка;
f(x i) – значение подынтегральной функции на концах элементарных отрезков интегрирования.
Чем больше число отрезков n, на которые разбит интервал интегрирования, тем ближе приближенное решение к истинному, т.е. тем точнее результат.
Таким образом, в прикладных задачах и при применении точных методов решения, и при применении численных методов решения результаты вычислений носят приближенный характер. Важно только добиться того, чтобы ошибки укладывались в рамки требуемой точности.
Численные методы решения математических задач известны давно, еще до появления ЭВМ, но ими пользовались редко и только в сравнительно простых случаях в силу чрезвычайной трудоемкости вычислений. Широкое применение численных методов стало возможным благодаря ЭВМ.
Признак классификации | Экономико-математические модели |
Общее целевое назначение Степень агрегирования объектов моделирования Конкретное назначение Тип используемой в модели информации Фактор времени Фактор неопределенности Тип математического аппарата Тип подхода к изучаемым социально-экономическим системам | Теоретико-аналитические Прикладные Макроэкономические Микроэкономические Балансовые Трендовые Оптимизационные Имитационные Аналитические Идентифицируемые Статические Динамические Детерминированные Стохастические Матричные модели Модели линейного и нелинейного программирования Корреляционно-регрессионные модели Модели теории массового обслуживания Модели сетевого планирования и управления Модели теории игр Дескриптивные Нормативные |
Рассмотрим выделенные классификационные признаки подробнее.
По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления.
По степени агрегирования объектов моделирования модели делятся на макроэкономические и микроэкономические, хотя между ними и нет четкого разграничения. К первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.
По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и применения, выделяют:
Балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования;
Трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей;
Оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления;
Имитационные модели, предназначенные для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов, и др.
По типу информации, используемой в модели ; экономико-математические модели делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.
По учету фактора времени модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и динамические, описывающие экономические системы в развитии.
По учету фактора неопределенности модели делятся на детерминированные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора.
По типу математического аппарата, используемого в модели, т.е. по характеристике математических объектов, включенных в модель, могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д.
По типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам выделяют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном (описательном) подходе получают модели, предназначенные для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений. В качестве примера дескриптивных моделей можно привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а тем, как она должна быть устроена и как должна действовать согласно определенным критериям.
Проблемы моделирования. Как все средства и методы, модели науки управления в случае их применения могут привести к ошибкам. Эффективность модели иногда снижается действием ряда потенциальных погрешностей.
Недостоверные исходные допущения. Любая модель опирается на некоторые исходные допущения, или предпосылки. Это могут быть поддающиеся оценке предпосылки, например то, что расходы на рабочую силу в следующие шесть месяцев составят 200 тыс. долл. Такие предположения можно объективно проверить и просчитать. Вероятность их точности будет высока. Некоторые предпосылки не поддаются оценке и не могут быть объективно проверены. Предположение о росте сбыта в будущем году на 10 % - пример допущения, не поддающегося проверке. Никто не знает наверняка, произойдет ли это действительно. Поскольку такие предпосылки - основа модели, точность последней зависит от точности предпосылок. Модель нельзя использовать для прогнозирования, например, потребности в запасах, если неточны прогнозы сбыта на предстоящий период.
В дополнение к допущениям по поводу компонентов модели руководитель формулирует предпосылки относительно взаимосвязей внутри нее. К примеру, модель, предназначенная помочь решить, сколько галлонов краски разных типов следует производить, должна, вероятно, включать допущение относительно зависимости между продажной ценой и прибылью, а также стоимостью материалов и рабочей силы. Точность модели зависит также от точности этих взаимосвязей.
Информационные ограничения. Основная причина недостоверности предпосылок и других затруднений - ограниченные возможности в получении нужной информации, которые влияют и на построение, и на использование моделей. Точность модели определяется точностью информации по проблеме. Если ситуация исключительно сложна, специалист по науке управления может быть не в состоянии получить информацию по всем релевантным факторам или встроить ее в модель. Если внешняя среда подвижна, информацию о ней следует обновлять быстро, но это может быть нереализуемо или непрактично.
Иногда при построении модели игнорируются существенные аспекты, поскольку они не поддаются измерению. Например, модель определения эффективности новой технологии будет некорректной, если в нее встроена только информация о снижении издержек в соответствии с увеличением специализации. В общем, построение модели наиболее затруднительно в условиях неопределенности. Когда необходимая информация настолько неопределенна, что ее трудно получить исходя из критерия объективности, руководителю, возможно, целесообразнее положиться на свой опыт, способность к суждению, интуицию и помощь консультантов.
Страх пользователей. Модель нельзя считать эффективной, если ею не пользуются. Основная причина неиспользования модели заключается в том, что руководители, которым она предназначена, могут не вполне понимать получаемые с помощью модели результаты и потому боятся ее применять. Для борьбы с этим возможным страхом специалистам по количественным методам анализа следует значительно больше времени уделять ознакомлению руководителей с возможностями и порядком использования моделей. Руководители должны быть подготовлены к применению моделей, а высшему руководству следует подчеркивать, насколько успех организации зависит от моделей и как они повышают способность руководителей эффективно планировать и контролировать работу организации.
Слабое использование на практике. Согласно ряду исследований уровень методов моделирования в рамках науки управления превосходит уровень использования моделей. Как указывалось выше, одна из причин такого положения дел - страх. Другими причинами могут быть недостаток знаний и сопротивление переменам. Данная проблема подкрепляет желательность того, чтобы на стадии построения модели штабные специалисты привлекали к этому пользователей. Когда люди имеют возможность обсудить и лучше понять вопрос, метод или предполагаемое изменение, их сопротивление обычно снижается.
Чрезмерная стоимость. Выгоды от использования модели, как и других методов управления, должны с избытком оправдывать ее стоимость. При установлении издержек на моделирование руководству следует учитывать затраты времени руководителей высшего и низшего уровней на построение модели и сбор информации, расходы, время на обучение, стоимость обработки и хранения информации.
Основные модели, используемые для разработки управленческих решений. Существует огромное множество конкретных моделей, используемых для разработки управленческих решений. Их число также велико, как и число проблем, для разрешения которых они были разработаны .
В общем виде в составе экономико-математических моделей можно выделить следующие:
Модели линейного программирования;
Оптимальные экономико-математические модели (имитационные модели, модели сетевого планирования и управления);
Модели анализа динамики экономических процессов;
Модели прогнозирования экономических процессов (трендовые модели на основе кривых роста, адаптивные модели прогнозирования);
Балансовые модели;
Эконометрические модели;
Прочие прикладные модели экономических процессов (модель спроса и предложения, модели управления запасами, модели теории массового обслуживания, модели теории игр).
Рассмотрим подробнее некоторые из перечисленных моделей, наиболее часто использующиеся в практике управления.
Модели теории игр. Одна из важнейших переменных, от которой зависит успех организации, - конкурентоспособность. Очевидно, способность прогнозировать действия конкурентов означает преимущество для любой организации. Теория игр - это метод моделирования воздействия принятого решения на конкурентов.
Теорию игр изначально разработали военные с тем, чтобы в стратегии можно было учесть возможные действия противника. В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции конкурентов на изменение цен, новые кампании поддержки сбыта, предложения дополнительного обслуживания, модификацию и освоение новой продукции. Если, например, с помощью теории игр руководство устанавливает, что при повышении цен конкуренты не сделают того же, оно, вероятно, должно отказаться от этого шага, чтобы не попасть в невыгодное положение в конкурентной борьбе.
Теория игр используется не так часто, как другие описываемые здесь модели, так как ситуации реального мира зачастую очень сложны и настолько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики фирмы. Тем не менее теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет руководству учесть дополнительные переменные или факторы, могущие повлиять на ситуацию, и тем самым повышает эффективность решения . Подробнее элементы теории игр рассмотрены в главе, посвященной разработке управленческих решений в условиях неопределенности и риска.
Модели теории массового обслуживания используются для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории массового обслуживания могут быть полезны, можно отнести ожидание клиентами банка свободного кассира, очередь грузовиков под разгрузку на склад. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным образом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгрузки, они не смогут выполнить положенное количество ездок за день.
Таким образом, принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: требуется больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сделать лишнюю поездку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк из-за медленного обслуживания).
Так, модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества сбалансировать издержки .
В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований простейший (пуас-соновский).
Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления P k (t) за время t равно k требований задается формулой
Важная характеристика систем массового обслуживания - время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования - это, как правило, случайная величина и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории, особенно в практических приложениях, получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид:
т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t , определяется этой формулой, где (µ - параметр экспоненциального закона распределения времени, необходимого для обслуживания требований в системе, т.е. величина, обратная среднему времени обслуживания t об :
Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных систем массового обслуживания с ожиданием, т.е. таких систем, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.
Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет п обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ.
Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше п требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.
Время обслуживания каждого требования t об - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ.
Системы массового обслуживания с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. Например, мастер, задача которого - наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на накладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.
Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видов накладывают определенные условия на используемый математический аппарат. Расчет характеристик работы систем массового обслуживания различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний систем (так называемые формулы Эрланга).
Рассмотрим алгоритмы, предназначенные для расчета качества функционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.
При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.
Введем в рассмотрение параметр α = λ / µ. Заметим, что если α / п < 1, то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: λ,-среднее число требований, поступающих за единицу времени; 1/ µ - среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда α = λ х 1 / µ - среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования. Поэтому условие α / п < 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования. Важнейшие характеристики работы систем массового обслуживания:
1) вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:
2) вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:
3) вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:
4) вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:
5) среднее время ожидания требования в системе:
6) средняя длина очереди:
7) среднее число свободных от обслуживания каналов:
8) коэффициент простоя каналов:
9) среднее число занятых обслуживанием каналов:
10) коэффициент загрузки каналов:
При рассмотрении замкнутых систем массового обслуживания к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе одновременно не может находиться больше т требований (т - число обслуживаемых объектов) .
Модели управления запасами используются для того, чтобы определить время размещения заказов на ресурсы и их количество, а также массу готовой продукции на складах. Любая организация должна поддерживать некоторый уровень запасов во избежание задержек на производстве и в сбыте. Для больницы требуется поставка необходимого количества лекарств, для производственной фирмы - сырья и деталей, а также определенный задел незавершенного производства и запас готовой продукции.
Цель данной модели - сведение к минимуму отрицательных последствий накопления запасов, которые выражаются в определенных издержках. Эти издержки бывают трех основных видов:
На размещение заказов;
На хранение;
Потери, связанные с недостаточным уровнем запасов.
Последние имеют место при исчерпании запасов. В этом случае продажа готовой продукции или предоставление обслуживания невозможно, кроме того, возникают потери от простоя производственных линий, в частности в связи с необходимостью оплаты труда работников, хотя они не работают в данный момент.
Поддержание высокого уровня запасов избавляет от потерь. Закупка в больших количествах материалов, необходимых для создания запасов, во многих случаях сводит к минимуму издержки на размещение заказов, поскольку фирма может получить соответствующие скидки и снизить объем «бумажной работы». Однако эти потенциальные выгоды перекрываются дополнительными издержками - расходами на хранение, перегрузку, выплату процентов, затратами на страхование, потерями от порчи, воровства и дополнительными налогами.
Кроме того, руководство должно учитывать возможность связывания оборотных средств избыточными запасами, что препятствует вложению капитала в приносящие прибыль акции, облигации или банковские депозиты. Разработано несколько специфических моделей, помогающих руководству установить, когда и сколько материалов заказывать в запас, какой уровень незавершенного производства и запаса готовой продукции поддерживать .
В практической деятельности организации часто используются следующие системы регулирования товарных запасов .
Система с фиксированным размером заказа - наиболее распространенная система, в которой размер заказа на пополнение запасов - постоянная величина, а поставка очередной партии товара осуществляется при уменьшении наличных запасов до определенного критического уровня, называемого точкой заказа. Регулирующие параметры системы с фиксированным размером заказа - это:
Точка заказа, т.е. фиксированный уровень запаса, при снижении до которого организуется заготовка очередной партии товара;
Размер заказа, т.е. величина партии поставки.
Данную систему часто называют «двухбункерной», так как запас хранится как бы в двух бункерах: в первом - для удовлетворения спроса в течение периода между фактическим пополнением запаса и датой следующего ближайшего заказа, а во втором -для удовлетворения спроса в течение периода от момента подачи заказа до поступления очередной партии товара, т.е. во втором бункере хранится запас на уровне точки заказа.
Система с фиксированной периодичностью заказа - заказы на очередную поставку товарного запаса повторяются через равные промежутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и определяется размер заказываемой партии. При этом запас пополняется каждый раз до определенного уровня, не превышающего максимальный запас. Таким образом, регулирующие параметры этой системы - это:
Максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение;
Продолжительность периода повторения заказов.
Система с фиксированной периодичностью заказа эффективна, когда имеется возможность пополнять запас в различных размерах, причем затраты на оформление заказа любого размера невелики. Одним из достоинств этой системы можно считать возможность периодической проверки остатков на складе и отсутствие необходимости вести систематический учет движения остатков. К недостаткам системы относится то, что она не исключает возможность нехватки товарных запасов.
Система с двумя фиксированными уровнями запасов и фиксированной периодичностью заказа - допустимый уровень запасов регламентируется как сверху, так и снизу. Кроме максимального верхнего уровня запаса устанавливается нижний уровень (точка заказа).
Если размер запаса снижается до нижнего уровня раньше наступления фиксированного времени пополнения запаса, то делается внеочередной заказ. В остальных случаях система функционирует как система с фиксированной периодичностью заказа. В данной системе имеется три регулирующих параметра:
Максимальный уровень запаса;
Нижний уровень запаса (точка заказа);
Длительность периода между заказами.
Первые два параметра постоянны, третий - частично переменный. Рассматриваемая система сложнее предыдущей, однако она позволяет исключить возможность нехватки товарного запаса. Недостаток системы в том, что пополнение запасов до максимального уровня не может производиться независимо от фактического расходования запасов.
Система с двумя фиксированными уровнями запасов без постоянной периодичности заказа, или (s, S)-стратегия управления запасами, - эту систему называют также (S-s)-стратегией, или системой «максимум-минимум». Рассмотрим (s, S)-стратегию управления запасами более подробно. Это модификация предыдущей системы, но она устраняет недостаток предыдущей системы. В этой системе два регулирующих параметра:
Нижний (критический) уровень запаса s;
Верхний уровень запаса S.
Если через х обозначить величину запасов до принятия решения об их пополнении, через p - величину пополнения, а через у = х + р - величину запасов после пополнения, то (s, S)-стратегия управления запасами задается функцией
т.е. пополнения не происходит, если имеющийся уровень запасов больше критического уровня s; если имеющийся уровень меньше или равен s, то принимается решение о пополнении запаса обязательно до верхнего уровня S, так что величина пополнения равна p = S - x.
Саморегулирующиеся системы управления запасами. Рассмотренные выше системы регулирования запасов предполагают относительную неизменность условий их функционирования. На практике такое постоянство условий встречается редко, что вызвано изменениями потребности в товарных запасах, условиями их поставки и т.д. В связи с этим возникает необходимость создания комбинированных систем с возможностью саморегулирования (адаптации к изменившимся условиям). Создаются системы с изменяющимися периодичностью и размером заказов, учитывающие стохастические (недетерминированные) условия. В каждой такой системе в рамках соответствующей экономико-математической модели управления запасами устанавливается определенная целевая функция, служащая критерием оптимальности функционирования системы. В качестве целевой функции в моделях управления запасами чаще всего используется минимум затрат, связанных с заготовкой и хранением запасов, а также потери от дефицита. К элементам целевой функции при построении саморегулирующихся систем управления запасами относятся:
Затраты, связанные с организацией заказа и его реализацией, начиная с поиска поставщика и кончая оплатой всех услуг по доставке товарных запасов на склад. Часть расходов, связанных с организацией заказов, не зависит от размера заказа, но зависит от количества этих заказов в год. Расходы, связанные с реализацией заказа, зависят от размера заказанной партии, причем расходы в расчете на единицу товара уменьшаются при увеличении размера партии;
Затраты, связанные с хранением запаса. Часть издержек хранения носит суточный характер (плата за аренду помещений, за отопление и др.), другая часть прямо зависит от уровня запасов (расходы на складскую переработку товарных запасов, потери от порчи, издержки учета и др.). При расчетах на основе экономико-математических моделей управления запасами обычно пользуются удельной величиной издержек хранения, равной размеру издержек на единицу хранимого товара в единицу времени. При этом предполагают, что издержки хранения за календарный период прямо пропорциональны размеру запасов и длительности периода между заказами и обратно пропорциональны количеству заказов за этот период.
3) потери из-за дефицита, когда снабженческо-сбытовая организация несет материальную ответственность за неудовлетворение потребности потребителей по причине отсутствия запасов . Например, при неудовлетворенном спросе снабженческо-сбытовая организация может нести убытки в виде штрафа за срыв поставки. Вероятность дефицита - это ожидаемая относительная частота случаев нехватки товарной продукции в течение более или менее продолжительного интервала времени. Иногда вероятность дефицита определяется как частное отделения числа дней, когда товар на складе отсутствует, на общее число рабочих дней, например, в году.
Имитационное моделирование. Все описанные выше модели подразумевают применение имитации в широком смысле, поскольку все они - заменители реальности. Тем не менее как метод моделирования имитация конкретно обозначает процесс создания модели и ее экспериментальное применение для определения изменений реальной ситуации. Аэродинамическая труба - пример физически осязаемой ими-тационной модели, используемой для проверки характеристик разрабатываемых самолетов и автомобилей. Специалисты по производству и финансам могут разработать модели, позволяющие имитировать ожидаемый прирост производительности и прибылей в результате применения новой технологии или изменения состава рабочей силы. Специалист по маркетингу может создать модели для имитации ожидаемого объема сбыта в связи с изменением цен или рекламы продукции.
Имитация используется в ситуациях, слишком сложных для математических методов типа линейного программирования. Это может быть связано с чрезмерно большим числом переменных, трудностью математического анализа определенных зависимостей между переменными или высоким уровнем неопределенности.
Итак, имитация - это часто весьма практичный способ подстановки модели на место реальной системы или натурного прототипа. Экспериментируя на модели системы, можно установить, как она будет реагировать на определенные изменения или события, в случае если отсутствует возможность наблюдать эту систему в реальности. Если результаты экспериментирования с использованием имитационной модели свидетельствуют о том, что модификация ведет к улучшению, руководитель может с большей уверенностью принимать решение об осуществлении изменений в реальной системе.
Экономический анализ. Почти все руководители воспринимают ими-тацию как метод моделирования. Однако многие из них никогда не думали, что экономический анализ - очевидно, наиболее распространенный метод - это тоже одна из форм построения модели. Экономический анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и экономических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Типичная экономическая модель основана на анализе безубыточности, методе принятия решений с определением точки, в которой общий доход уравнивается с суммарными издержками, т.е. точки, в которой предприятие становится прибыльным.
Тонка безубыточности (break-even point - ВЕР) - ситуация, при которой общий доход (total revenue - TR ) становится равным суммарным издержкам (total costs - ТС). Для определения ВЕР необходимо учесть три основных фактора:
Продажную цену единицы продукции (unit price - Р) - доход фирмы от продажи каждой единицы товаров или услуг. Издательская компания, к примеру, получает 80 % от розничной цены книги. Таким образом, при продаже одной книги за 10 долл. Р составит 8 долл.;
Переменные издержки на единицу продукции (variable costs - VС) - фактические расходы, прямо относимые на изготовление каждой единицы продукции. Применительно к изготовлению книги это будут расходы на бумагу, обложку, услуги типографии, изготовление переплета и сбыт, а также выплата авторского гонорара. Естественно, совокупные переменные издержки растут с ростом объема производства;
Общие постоянные издержки на единицу продукции (total fixed costs - ТFС) - те издержки, которые, по меньшей мере, в ближайшей перспективе, остаются неизменными независимо от объема производства. Основные составляющие совокупных постоянных издержек издательской компании - расходы на редактирование, оформление и набор. Кроме того, часть управленческих расходов, расходы на страхование и налоги, аренду помещения и амортизационные отчисления переводятся в постоянные издержки в соответствии с формулой, установленной руководством. В нашем примере предположим, что постоянные издержки, связанные с производством книги, равны 200 тыс. долл.
Продажная цена за вычетом переменных издержек обозначает вклад в прибыль на единицу проданной продукции. При продажной цене книги 10 долл. и переменных издержках 6 долл. вклад составит 4 долл. Этот расчет позволяет руководству установить, сколько книг нужно продать, чтобы покрыть постоянные издержки в сумме 200 тыс. долл. Разделив 200 тыс. на 4, мы получим 50 тыс., т.е. именно столько книг необходимо продать, чтобы проект был рентабельным. В форме уравнения безубыточность выражается следующим образом:
Используя формулу, мы получим на базе тех же данных те же результаты, как и при простом подсчете:
P = 10 долл.;
VC = 6 долл.;
TFC = 200 000 долл.;
BEP = ТFС/(Р- VC) = 200 000/4 = 50 000 книг.
Вычисление точки безубыточности, будучи сравнительно простой операцией, дает значительный объем полезной информации. Соотнося величину ВЕР иоценку объема продажи, получаемую методами анализа рынка, руководитель в состоянии сразу увидеть, будет ли проект прибыльным, как запланировано, и каков примерный уровень риска. Если анализ издательского рынка показал, что потенциал сбыта составляет 80 000 экземпляров, это значит, что издание будет прибыльным и сопряжено с относительно малым риском. Намерение продать всего, к примеру, 35 000 книг было бы весьма рискованным.
Легко можно также установить, как влияет на прибыль изменение одной или большего числа переменных. Например, издатель увеличивает Р с 1 до 11 долл., ВЕР должна снизиться до 40 000 книг, что должно произойти и при соответствующем изменении величины VC. Таким образом, анализ безубыточности помогает выявить альтернативные подходы, которые были бы более привлекательными для фирмы. Например, рынок сбыта научных книг гораздо уже, чем, скажем, рынок учебников по вводным курсам, поэтому издатели вынуждены выплачивать менее высокие гонорары авторам научных книг и отказываться от второго цвета при печати. Такой подход позволяет вдвое снизить общие издержки по сравнению с учебниками по вводным курсам. Отметим, однако, что в результате внешний вид книги ухудшается, а это может заставить потенциальных потребителей обратиться к продукции конкурента, в результате чего сбыт упадет ниже точки безубыточности.
Получив результаты по сбыту и данные по фактическим издержкам, руководство может вернуться к модели безубыточности для контрольной оценки. Если фактические значения постоянных и переменных издержек превышают те, что использованы для расчета точки безубыточности, это свидетельствует о необходимости корректирующих действий. Зачастую эти действия должны сводиться к новому анализу основы расчета. Как любые другие прогнозы и планы, те, что использованы в анализе безубыточности, могут быть ошибочными, и зачастую по причинам, не находящимся под контролем руководителя. К примеру, в начале 1970-х гг. многие издатели столкнулись с уменьшением прибыли в силу внезапного скачка цен на бумагу, который невозможно было полностью переложить на потребителей.
Объем производства, обеспечивающий безубыточность, можно рассчитать почти по каждому виду продукции или услуге, если соответствующие издержки удается определить.
Другие модели экономического анализа применяются для определения прибыли относительно инвестированного капитала, определения величины чистой прибыли, которую имеет в данный период фирма, и дивидендов на одну акцию внутри фирмы. Эти модели рассматриваются в курсах по финансам и бухгалтерскому учету .
Оптимальное линейное программирование. Необходимое условие оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оптимальности) - гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).
Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение = (x 1 ,x 2 ,…,x n), где x j , (j = ) - его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.
Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор некоторого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений. Традиционные критерии оптимальности - «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и др.
Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) накладывается ряд условий, т.е. выбор осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D ; эту область называют также областью определения задачи.
Таким образом, реализовать на практике принцип оптимальности - значит решить экстремальную задачу вида:
где- математическая запись критерия оптимальности - целевая функция. Задачу условной оптимизации обычно записывают таким образом: _
Найти максимум или минимум функции f = f (x 1 ,x 2 ,..., х п) при ограничениях:
Последнее условие необязательно, но его при необходимости всегда можно добиться. Обозначение {≤, =, ≥} говорит о том, что в конкретном ограничении возможен один из знаков: ≤, =, ≥. Используется более компактная запись:
Такова общая задача оптимального (математического) программирования, т.е. математическая модель задачи оптимального программирования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности и системности.
Вектор (набор управляющих переменных x j , j = называется допустимым решением, или планом задачи оптимального йрограм-мирования, если он удовлетворяет системе ограничений. А тот план (допустимое решение), который составляет максимум или минимум целевой функции f (x 1 ,x 2 ,..., х п) называется оптимальным планом (оптимальным поведением, или просто решением) задачи оптимального программирования .
Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности и оптимальности экономико-математического моделирования и решением задачи оптимального программирования.
IDEF-технологии моделирования . Своим появлением семейство стандартов IDEF (Integrated Defenition - интегрированное определение) во многом обязано появившейся в 1980-х гг. технологии автоматизации разработки информационных систем CASE (Computer Aided Software Engineering). До настоящего времени эта технология с успехом применяется при разработке разнообразного программного обеспечения. Однако в последнее время CASE-технологии приобретают все большее распространение для моделирования и анализа деятельности предприятий, предоставляя богатый набор возможностей для оптимизации, или, в терминах CASE, реинжиниринга, технологических процедур, выполняемых этими предприятиями, - бизнес-процессов.
IDEF0, ранее известный как технология структурированного анализа и разработки SADT (Structured Analysis Design Technique - технология структурного анализа и моделирования), был разработан компанией «SofTech, Inc.» в конце 1960-х гг. и представлял собой набор рекомендаций по построению сложных систем, которые предполагали взаимодействие механизмов и обслуживающего персонала. Подход SADT относится к классу формальных методов, используемых при анализе и разработке систем .
В настоящее время используются методики функционального, информационного и поведенческого моделирования и проектирования, в которые входят IDEF-модели, приведенные в табл. 3.4.
Удобные средства визуального представления информации, описанные в стандартах семейства IDEF, могут применяться как для описания деятельности произвольной компании, так и для принятия обоснованных решений в сфере реинжиниринга бизнес-процессов - оптимизации функционирования компании на рынке.
Список вопросов
1. Основные понятия и определения.
(ИТО, моделирование, физическая модель, математическая модель, входные и выходные переменные)
2. Классификация математических моделей.
3. ВидыДУ, описывающих процессы в конструкциях РЭА
4. Основные требования, предъявляемые к математическим моделям ИТО.
5. Внешние и внутренние факторы ИТО.
6. Краевая задача (определение и пример).
7. Задача с начальными условиями (определение и пример).
8. Численные методы решения и их сравнение.
9. Метод конечных разностей
10. Основные положения метода конечных разностей
11. Процедура построения разностной схемы
12. Оценка погрешности дискретной модели непрерывного процесса
13. Постановка задач расчета теплового процесса на дискретной модели
14. Метод конечных элементов
15. Основные положения метода конечных элементов
16. Этапы решения в МКЭ.
17. Типы элементов, используемых в МКЭ.
18. Одномерный симплекс-элемент.
19. Двумерный симплекс-элемент.
20. Трёхмерный симплекс-элемент.
21. Функции формы.
22. Интерполяционные полиномы для дискретизированной области.
23. Матрица трансформации узла.
24. Решение краевых задач методом конечных элементов
25. Метод граничных элементов.
26. Типы граничных элементов.
Наш ответ ему
Основные понятия и определения (ИТО, моделирование, физическая модель, математическая модель, входные и выходные переменные)
Термин объект обозначает то, с чем взаимодействует человек (субъект) в своей познавательной, предметно-практической деятельности – компьютером, радаром, автомобилем. Термин техника означает совокупность средств человеческой деятельности, создаваемых как для осуществления процессов производства, так и для обслуживания непроизводственных потребностей общества.
Технический объект или техническая система – это любое изделие (элемент, устройство, подсистема, функциональная единица или система), которое можно рассматривать в отдельности.
Техническая система - это определенная совокупность упорядочение связанных между собой элементов, предназначенных для удовлетворения определенных потребностей, для выполнения определенных полезных функций. Как видим, понятие технический объект (ТО) – это более широкое понятие, поскольку технические системы являются лишь их разновидностью.
Термин «технический объект» предпочтительно использовать, когда речь о нем идет вообще, без всякой структурной, функциональной и конструктивной конкретизации, в то время как термин «техническая система» используется при обсуждении его внутреннего содержания, изучении, анализе, синтезе и конструировании.
Модель (ММ) – это условный образ исследуемого технического объекта (ИТО) , конструируемый исследователем так, чтобы отобразить его характеристики (свойства, взаимосвязи, параметры), существенные для исследователя.
Модель может быть физическим объектом (ФО) (макет, стенд) или спецификацией – функциональная, поведенческая, структурная и др.
Моделирование – метод исследования процессов или явлений в ИТО на моделях (физических или математических).
Математические модели могут быт геометрическими, топологическими, динамическими, логическими и др.
Информационные модели – таблицы и диаграммы вида «сущность-отношение»
Функциональная математическая модель – это алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных векторах параметров элементов X и внешних параметров Q.
Физическая модель – устройство или приспособление, воспроизводящее в том или ином масштабе ИТО при сохранении физического подобия процессов в ФО процессам в ИТО.
Для оценки адекватности результатов исследования на ФМ реальному процессу вводится критерий подобия , содержащий комбинацию значений физических параметров, характеризующих ИТО.
Физическое моделирование – исследование процессов и явлений в ИТО с помощью ФМ при равенстве критерия подобия ФМ и ИТО.
Изоморфность ММ – одинаковое по форме математическое описание для разных по природе физических явлений.
Переменные в ММ – координаты пространства поведения ММ – это величины, подлежащие изменению или определению при решении задач ИТО.
Выходные переменные – величины, характеризующие состояние ИТО и подлежащие определению в процессе моделирования ИТО.
Входные переменные – величины, целенаправленно изменяемые самим исследователем (в соответствии с алгоритмом моделирования) при решении задач ИТО с помощью ММ.
Классификация математических моделей.
1. По характеру отображаемых свойств объекта математические модели делятся на структурные и функциональные модели.
Структурные ММ предназначены для отображения структурных геометрических или топологических свойств объекта.
В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определённым пространственным позициям или к относительным моментам времени. Могут иметь форму графов, таблиц, матриц, списков и т. п.
В геометрических ММотображаются геометрические свойства ТО, в которых дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов есть сведения о форме деталей, выражаемые либо совокупностью уравнений линий и поверхностей либо алгебрологическими формулами, описывающими области, составляющие тело объекта. Геометрические ММ также могут иметь форму графов и списков, отражающих конструкции из типовых конструктивных элементов.
Аналитические и алгебрологические модели используются для отображения геометрических свойств деталей со сравнительно несложными поверхностями. Аналитические модели – это уравнения поверхностей и линий. В алгебрологических моделях тела описываются системами логических выражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел. В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сложными поверхностями вместо них применяют каркасные и кинематические ММ.
Каркасные (сеточные) ММ представляют собой конечные множества точек или кривых, принадлежащих моделируемой поверхности. Каркас выбирается в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности. Кусочно-линейная аппроксимация на этой сетке устраняет главный недостаток аналитических моделей, так как в пределах каждого из участков, имеющих малые размеры, возможна удовлетворительная по точности аппроксимация поверхностями с простыми уравнениями. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются исходя из условий плавности сопряжений участков.
Кинематическая математическая модель – набор законов и правил в виде математических формул описывающих движение тел или механизмов.
Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.
2. Принадлежность к иерархическому уровню. Деление описаний объектов на иерархические уровни непосредственно касается математических моделей. Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии ММ проектируемых объектов. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Математические модели делятся на модели, относящиеся к микро-, макро- и мета- уровням.
№ п/п | Признак классификации | Виды математических моделей | |||
Характер отображаемых свойств объекта | Структурные | Топологические | |||
Геометрические | Аналитические | ||||
Алгебрологические | |||||
Каркасные (сеточные) | |||||
Кинематические | |||||
Функциональные | |||||
Принадлежность к иерархическому уровню | Модели микроуровня | ||||
Модели макроуровня | |||||
Модели метауровня | |||||
Степень детализации | Полные модели | ||||
Макромодели | |||||
Способ представления свойств объекта | Инвариантные | ||||
Функциональные аналитические | |||||
Функциональные алгоритмические | |||||
Имитационные | |||||
Графические | |||||
Способ получения модели | Теоретические | ||||
Эмпирические | |||||
По учету неизвестных факторов | Детерминированные | линейные | |||
нелинейные | |||||
динамические | |||||
Стохастические (вероятностные) | |||||
С элементами неопределенности | |||||
По числу критериев эффективности | Однокритериальные | ||||
Многокритериальные | |||||
Модели технического проектирования РТУ | Модели физических процессов | ||||
Структурные | |||||
Статистические | |||||
Поведенческие | |||||
Логические модели, представленные правилами проектирования | |||||
Особенностью математических моделей на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные модели на микроуровне – дифференциальные уравнения (ДУ) в частных производных. В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. Решая ДУ в частных производных, определяют поля механических напряжений, деформаций, давлений, температур и др. Попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не дают результатов из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.
На макроуровне используют укрупнённую дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных ДУ. В этих уравнениях независимой переменной является время, а вектор зависимых переменных составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупнённых элементов дискретизированного пространства. Фазовыми переменными являются силы и скорости механических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы обыкновенных ДУ являются универсальными моделями на макроуровне, однако, если порядок системы приближается к 10 3 , то работать с моделью становится затруднительным и переходят к представлениям ММ на метауровне.
На метауровне в качестве элементов моделирования принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне так же представляются системами обыкновенных ДУ, в которых фигурируют фазовые переменные, относящиеся только к взаимным связям элементов. Поэтому укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для гораздо более сложных объектов, чем на макроуровне.
Рассмотренные выше структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней, причем на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших уровнях – используются топологические модели.
3. По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные модели и макромодели.
В полной ММ фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех межэлементных связей.
В макромодели отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупнённом выделении элементов. Понятия «полная математическая модель » и «макромодель» относительны и отображают различную степень детальности описания свойств объекта.
4. По способу представления свойств объекта . В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений вне связи с методом решения этих уравнений.
Функциональные аналитические ММ – это численные ММ, которые можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных ДУ.
В функционально-алгоритмической форме соотношения в ММ связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений.
При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени и в пространстве, причем имитируются элементарные явления процесса с сохранением его логической и временной структуры.
Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. Существенной характеристикой таких моделей является структурное подобие объекта и модели. Это значит, что каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставится в соответствие элемент модели. При построении имитационной модели описываются законы функционирования каждого элемента объекта и связи между ними. Ценным качеством имитации является возможность управлять масштабом времени.
Графические модели используются тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.
5. По способу получения. Теоретические ММ создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений. Для их получения используют неформальные и формальные методы. Эмпирические ММ создаются в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерений фазовых переменных на внешних входах и выходах обработки результатов измерений и обработки их результатов методами математической статистики.