Логические операции. Кванторы. Кванторы Значение формулы логики предикатов

20. Равносильные формулы логики предикатов

21. Равносильные формулы логики предикатов

22. Равносильные формулы логики предикатов

23. Законы логических операций (общезначимые формулы логики предикатов)

24. Упражнение

25. Упражнение

26.

27.

Функциональная природа предиката влечет за собой введение ещё одного понятия – квантора . (quantum – от лат. «сколько») Кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции в случае конечных и бесконечных областей.

Квантор общности (все, всякий, каждый, любой (all – «всякий»)). Соответствующие ему словесное выражение звучит так:

«Для всякого x Р(x) истинно». Вхождение переменной в формулу может быть связанным, если переменная расположена либо непосредственно после знака квантора, либо в области действия квантора, после которого стоит переменная. Все прочие вхождения – свободные, переход от P(x) к x(Px) или (Px) называется связыванием переменной x или навешиванием квантора на переменную x (или на предикат P) или квантификацией переменной х. Переменная, на которую навешивается квантор, называется связанной , несвязанная квантования переменная называется свободной .

Например, переменная x в предикате Р(x) называется свободной (x – любое из М), в высказывании Р(x) переменную x называют связанной переменной.

Справедлива равносильность P(x 1)P(x 2)…P(x n),

P(x) – предикат, определенный на множестве М={х 1 ,х 2 ...х 4 }

Квантор существования (exist – «существовать»). Словесное выражение, соответствующее ему, звучит так: “Существует x, при котором Р(x) истинно”. Высказывание xР(x) уже не зависит от x, переменная x связана квантором .

Справедлива равносильность:

xP(x) = P(x 1)P(x 2)…P(x n), где

P(x) - предикат, определенный на множестве М={x 1 ,x 2 …x n }.

Квантор общности и квантор существования называют двойственными, иногда используется обозначение квантора ! – «существует, и притом, только один».

Ясно, что высказывание xP(x) истинно только в том единственном случае, когда Р(x) - тождественно истинный предикат, а высказывание ложно только тогда, когда Р(x) - тождественно ложный предикат.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат xP(x,y) или xP(x,y), зависящий от у и не зависящий от х.

К двухместному предикату можно применить кванторные операции по обеим переменным. Тогда получим восемь высказываний:

1. P(x,y); 2. P(x,y);

3. P(x,y); 4. P(x,y);

5. P(x,y); 6. P(x,y);

7. P(x,y); 8. P(x,y)

Пример 3. Рассмотреть возможные варианты навешивания кванторов на предикат P(x,y) – “x делится на y ”, определенный на множестве натуральных чисел (без нуля) N . Дать словесные формулировки полученных высказываний и определить их истинность.

Операция навешивания кванторов приводит к следующим формулам:

Высказывания “для любых двух натуральных чисел имеет место делимость одного на другое” (или 1) все натуральные числа делятся на любое натуральное число; 2) любое натуральное число является делителем для любого натурального числа) ложные;

Высказывания “существуют такие два натуральных числа, что первое делится на второе” (1. «существует такое натуральное число x, которое делится на какое-то число y»; 2. «существует такое натуральное число y, которое является делителем какого-то натурального числа x») истинны;

Высказывание “существует натуральное число, которое делится на любое натуральное”, ложное;

Высказывание “для всякого натурального числа найдется такое натуральное, которое делится на первое” (или для всякого натурального числа найдется свое делимое), истинное;

Высказывание “для всякого натурального x существует такое натуральное число y, на которое оно делится” (или «для всякого натурального числа найдется свой делитель»), истинное;

Высказывание “существует натуральное число, которое является делителем всякого натурального числа”, истинное (таким делителем является единица).

В общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания и его логическое значение, т.е. например, высказывания P(x,y) и P(x,y) различны.

Пусть предикат P(x,y) означает, что x является матерью для y, тогда P(x,y) означает, что у каждого человека есть мать – истинное утверждение. P(x,y) означает, что существует мать всех людей. Истинность этого утверждения зависит от множества значений, которые могут принимать y: если это множество братьев и сестер, то оно истинно, в противном случае оно ложно. Таким образом, перестановка кванторов всеобщности и существования может изменить сам смысл и значение выражения.

а) заменить начальный знак (или ) на противоположный

б) поставить знак перед остальной частью предиката

В логике предикатов рассматриваются две операции, которыё превращают одноместный предикат в высказывание, для этого используются специальные слова, которые ставят перед предикатами. В логике их называют кванторами.

Различают два вида кванторов:

1. Квантор общности;

2. Квантор существования.

1. Квантор общности.

Пусть имеется предикат Р(х) определенный на множестве М

Символ называют квантором всеобщности (общности). Это перевернутая первая буква английского слова All- все. Читают «все», «каждый», «любой», «всякий». Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании же х называют связанной квантором всеобщности.

Пример №1: Р(х) – «Простое число х нечетно»

Добавим квантор общности – «Всякое простое число х нечетно» - ложное высказывание.

Под выражением понимают высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х.

2. Квантор существования.

Пусть P(x) -предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание , которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Существует x, при котором P(x) истинно.” Символ называют квантором существования. В высказывании переменная x связана этим квантором (на нее навешен квантор).

(Читают: «Существует такое х из М, при котором Р от х истинно»)

Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент х€М (хотя бы один), для которого Р(х) истинно, и ложным в противном случае.

Пример №2: Р(х) «Число х кратно 5»

Любое натуральное число кратно 5»

Каждое натуральное число кратно 5» ложные высказывания

Все натуральные числа кратны 5»

Существует натуральное число кратно 5

Найдется натуральное число кратно 5 истинные высказывания

Хотя бы одно натуральное число кратно 5

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат P(x,y). Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат (или одноместный предикат ), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:

Для построения отрицаний с кванторами надо:

1) квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности;

2) предикат заменить его отрицанием.

Таким образом, справедливы формулы:

Отрицание предложения записывать как , а отрицание предложения – как . Очевидно, что предложение имеет тот же смысл, а следовательно, то же значение истинности, что и предложение , а предложение – тот же смысл, что . Иначе говоря, равносильно ; равносильно .

П р и м е р №3. Построить отрицание высказывания «некоторые двузначные числа делятся на 12».

Р е ш е н и е. Заменим квантор существования (он выражен словом «некоторые») на квантор общности «все» и построим отрицание предложения, стоящего после слова «некоторые», поставив частицу «не» перед глаголом. Получим высказывание «Все двузначные числа не делятся на 12».

П р и м е р №4. Сформулировать отрицание высказывания «В каждом классе хотя бы один ученик не справился с контрольной работой».

Р е ш е н и е. Данное высказывание содержит квантор общности, выраженный при помощи слова «каждый», и квантор существования, выраженный при помощи слов «хотя бы один». По правилу построения отрицаний высказываний с кванторами надо квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности и убрать у глагола частицу «не». Получим: «Найдется такой класс, в котором все ученики справились с контрольной работой».

Кроме рассмотренных выше операций, мы будем употреблять еще две новые операции, связанные с особенностями логики предикатов. Операции эти выражают собой утверждения общности и существования.

Квантор - некоторый способ приписать наличие каких-либо свойств целому множеству объектов: (квантор общности) или просто (), (квантор существования).

1. Квантор общности. Пусть R (x) - вполне определенный предикат, принимающий значение И или Л для каждого элемента х некоторого поля М. Тогда под выражением (x)R(x) мы будем подразумевать высказывание истинное, когда R(х) истинно для каждого элемента х поля М, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет: «для всякого х R (х) истинно».

Пусть теперь И(х)-формула логики предикатов, принимающая определенное значение, если входящие в нее переменные предметы и переменные предикаты замещены вполне определенным образом. Формула И(х) может содержать и другие переменные, кроме х. Тогда выражение И(х) при замещении всех переменных как предметов, так и предикатов, кроме х, представляет собой конкретный предикат, зависящий только от х. А формула (х)И(х) становится вполне определенным высказыванием. Следовательно, эта формула вполне определяется заданием значений всех переменных, кроме х, и, значит, от х не зависит. Символ (х) называется квантором общности .

2. Квантор существования. Пусть R(х) - некоторый предикат. Мы свяжем с ним формулу (x)R(x), определив ее значение как истину, если существует элемент поля М, для которого R(х) истинно, и как ложь в противном случае. Тогда если И(х) - определенная формула логики предикатов, то формула (x)И(x) также определена и от значения х не зависит. Знак (x) называется квантором существования .

Кванторы (х) и (х) называются двойственными друг другу.

Мы будем говорить, что в формулах (х)И(х) и (x)И(x) кванторы (х) и (х) относятся к переменному х или что переменное х связано соответствующим квантором.

Предметное переменное, не связанное никаким квантором, мы будем называть свободным переменным . Таким образом, мы описали все формулы логики предикатов.

Если две формулы И и В, отнесенные к некоторому полю М, при всех замещениях переменных предикатов, переменных высказываний и свободных предметных переменных соответственно индивидуальными предикатами, определенными на М, индивидуальными высказываниями и индивидуальными предметами из М, принимают одинаковые значения И или Л, то мы будем говорить, что эти формулы равносильны на поле М. (При замещениях переменных предикатов, высказываний и предметов мы, конечно, те из них, которые в формулах И и В обозначены одинаковым образом, замещаем также одинаковым образом).

Если две формулы равносильны на любых полях М, то мы будем их называть просто равносильными. Равносильные формулы могут быть замещаемы одна другой.

Равносильность формул позволяет приводить их в разных случаях к более удобному виду.

В частности, имеет место: И→ В равносильно И В.

Пользуясь этим, мы можем для любой формулы найти равносильную, в которой из операций алгебры высказываний имеются только &, и -.

Пример: (x)(А(х)→(у)В(у)) равносильна (x)(А(х)(у)В(у)).

Кроме того, для логики предикатов имеются равносильности, связанные с кванторами.

Существует закон, связывающий кванторы со знаком отрицания. Рассмотрим выражение (х)И(х).

Высказывание «(х)И(х) ложно», равносильно высказыванию: «существует элемент у, для которого И(у) ложно» или, что то же, «существует элемент у, для которого И(у) истинно». Следовательно, выражение (х)И(х) равносильно выражению (у)И(у).

Рассмотрим таким же образом выражение (х)И(х).

Это есть высказывание «(х)И(х) ложно». Но такое высказывание равносильно высказыванию: «для всех у И(у) ложно» или «для всех у И(у) истинно». Итак, (х)И(х) равносильно выражению (у)И(у).

Мы получили, таким образом, следующее правило:

Знак отрицания можно ввести под знак квантора, заменив квантор на двойственный.

Мы уже видели, что для каждой формулы существует равносильная ей формула, которая из операций алгебры высказываний содержит только &, и -.

Пользуясь равносильностями для каждой формулы можно найти равносильную, в которой знаки отрицания относятся к элементарным высказываниям и элементарным предикатам.

Для аксиоматического описания логики предикатов предназначено исчисление предикатов.

Исчисление предикатов - некоторая аксиоматическая система, предназначенная для моделирования некоторой среды и проверки каких-либо гипотез относительно свойств этой среды при помощи разработанной модели. Гипотезы при этом утверждают наличие или отсутствие некоторых свойств у некоторых объектов и выражаются в виде логической формулы. Обоснование гипотезы сводится, таким образом, к оценке выводимости и выполнимости логической формулы.

Рассмотрим несколько предложений с переменной:

- «- простое натуральное число»; область допустимых значений этого предиката – множество натуральных чисел;

- «- чётное целое число»; область допустимых значений этого предиката – множество целых чисел;

- «
- равносторонний»;

- «
»

- «студентполучил оценку»

- «делится нацело на 3»

Определение . Если предложение с переменными при любой за­мене переменных допустимыми значениями превращается в высказы­вание, то такое предложение называется предикатом.

,
,
,
- предикаты от одной переменной (одноместные пре­дикаты). Предикаты от двух переменных:
,
- двухместные предикаты. Высказывания – нульместные предикаты.

Квантор общности.

Определение . Символназывается квантором общности.

читается: для любого, для каждого, для всех.

Пусть
- одноместный предикат.

читается: для любых
- истина.

Пример.

- «Все натуральные числа простые» - Лож­ное высказывание.

- «Все целые числа чётные» - Ложное высказывание.

- «Все студенты получили оценку» - одноместный преди­кат. Навесили квантор на двуместный предикат, получили одномест­ный предикат. Аналогично
-n-местный предикат, то

- (n-1)-местный предикат.

- (n-2)-местный пре­дикат.

В русском языке квантор общности опускается.

Квантор существования.

Определение. Символназывается квантором существования.

читается: существует, есть, найдётся.

Выражение
, где
- одноместный предикат, чита­ется: существует, для которого
истинно.

Пример.

- «существуют простые натуральные числа». (и)

- «существуют целые чётные числа». (и).

- «существует студент, который получил оценку» - од­номестный предикат.

Если на n-местный предикат навесить 1 квантор, то получим (n-1)-ме­стный предикат, если навеситьnкванторов, то получим нульместный предикат, т.е. высказывание.

Если навешивать кванторы одного вида, то порядок навешива­ния кванторов безразличен. А если на предикат навешиваются разные кванторы, то порядок навешивания кванторов менять нельзя.

Построение отрицания высказываний, содержащих кван­торы. Законы Де Моргана.

Закон Де Моргана.

При построении отрицания высказывания, содержащего квантор общности, этот квантор общности заменяется на квантор существования, а предикат заменяется на своё отрицание.

Закон Де Мор­гана.

При построении отрицания высказываний, содержащих квантор существования, нужно квантор существования заменить на квантор общности, а предикат
- его отрицанием. Аналогично строится отри­цание высказываний, содержащих несколько кванторов: квантор общности заменяется на квантор существования, квантор существова­ния - на квантор общности, предикат заменяется своим отрицанием.

П.2. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). Числовые множества. Множество действительных чисел.

Описание множества : под словом множество понимается сово­купность объектов, которая рассматривается как одно целое. Вместо слова «множество» иногда говорят «совокупность», «класс».

Определение . Объект, входящий в множество, называется его элементом.

Запись
обозначает, чтоявляется элементом множества. Запись
обозначает, чтоне является элементом множества. Про любой объект можно сказать, является он элементом множества или нет. Запишем это утверждение с помощью логических символов:

Не существует объекта, который одновременно принадлежит множеству и не принадлежит, то есть,

Множество не может содержать одинаковых элементов, т.е. если из множества, содержащего элемент , удалить элемент, то полу­чится множество, не содержащее элемент.

Определение. Два множестваиназываются равными, если они содержат одни те же элементы.