История возникновения логарифмов Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером () и математиком Иостом Бюрги (Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».
Натуральные логарифмы Таблицы и свойства натуральных логарифмов аналогичны таблицам и свойствам обычных логарифмов. Основное различие между теми и другими состоит в том, что целочисленная часть натурального логарифма не имеет существенного значения при определении положения десятичной запятой, и поэтому различие между мантиссой и характеристикой не играет особой роли.
Кологарифмы Пропорциональные логарифмы при a = 1 называются кологарифмами и применяются в вычислениях, когда приходится иметь дело с произведениями и частными. Кологарифм числа n равен логарифму обратного числа; т.е. cologn = log1/n = – logn. Если log2 = 0,3010, то colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Преимущество использования кологарифмов состоит в том, что при вычислении значения логарифма выражений вида pq/r тройная сумма положительных десятичных долей logp + logq + cologr находится легче, чем смешанная сумма и разность logp + logq – logr.
Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ:
Александрина Людмила Владимировна
ГБПОУ «Муравленковский колледж»
ЯНАО, г. Муравленко
Цель урока:
- Дать определение логарифма и его свойств, основного логарифмического тождества
- Показать полезность применения логарифмов;
- Научить видеть знакомое в незнакомом, развить интерес к истории математики и её приложениям.
Найдите положительный корень уравнения
х 2 = 9 ответ: х=3
х 3 = 8 ответ х=2
х 4 = 81 ответ: х=3
Решите уравнение
2 х =8 ответ: х=3
3 х =27 ответ: х=3
5 х =7 ответ: ?
0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b . = х Логарифм с произвольным основанием." width="640"
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию а0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b .
Логарифм с произвольным основанием.
Логарифмы с основанием 10, называются десятичными.
Обозначение:Lg
Например: Lg100=2
Логарифмы с основанием е = 2.718 … называются натуральными.
Обозначение: Ln
Основное логарифмическое тождество
Действие нахождения логарифма числа называется логарифмированием
Вычислите
loq 3 27=
loq 5 125=
loq 2 2=
loq 8 1=
loq 2 16=
loq 3 9=
3 loq 3 18 =
loq 0,5 0,25=
loq 2 х= 3
7 loq 7 3 =
Вычислите
loq 4 1=
loq 13 13=
loq 3 х=2
6 loq 6 12 =
loq 4 х=2
loq 2 х=5
loq 13 13=
loq 3 х=2
5 loq 5 12 =
loq 9 1=
Вычислите самостоятельно
loq 3 3=
loq 2 16=
loq 2 х=3
3 loq 3 18 =
loq 2 2=
loq 2 64=
loq 15 15=
loq 3 х=2
4 loq 4 12 =
loq 9 1=
Логарифмическая разминка «Немного истории».
Логари́фм - от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число», «показатель»
Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Уже прошло четыре столетия с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогли астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняли жизнь вычислителям».
Логарифмическая разминка «Немного истории».
Параллельно с Непером над составлением
таблицы логарифмов работал другой
любитель математики - Йост Бюрги.
Он был швейцарским часовщиком и
мастером астрономических приборов.
Бюрги составил таблицы логарифмов
раньше, но только в 1620 году издал свою
книгу "Таблицы арифметической и
геометрической прогрессии с обстоятельным
наставлением, как пользоваться ими при
всякого рода вычислениях".
Логарифмическая разминка «Немного истории».
В 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания
первых таблиц, английским математиком Эдмундом
Гантером была изобретена первая логарифмическая
линейка, ставшая рабочим инструментом для многих
поколений вплоть до появления ЭВМ.
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом »
Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, которая называется полюсом спирали.
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
цветки в соцветиях подсолнечника
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
По логарифмическим спиралям выстраиваются
рога многих животных
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
По логарифмической спирали свёрнуты раковины
многих улиток и моллюсков.
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
По логарифмической спирали формируется тело циклона
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
Даже пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали.
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
Улитка является органом, воспринимающим звук, в котором самой природой заложена
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ!
Человеческое ухо – это маленькое чудо !
!
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
Траектории насекомых
летящих на свет также описывают логарифмическую спираль.
Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других.
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
Логарифмическая спираль «Удивительное рядом»
Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.
Звезды, шум и логарифмы
Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.
Презентация «Понятие логарифма» помогает учителю объяснить ученикам суть понятия логарифма. Пособие содержит наглядный материал для введения данного понятия, представления его определения. С помощью презентации учителю легче научить учеников вычислять логарифмы, дать необходимые знания для выполнения вычислений. В форме презентации есть возможность понятно и наглядно демонстрировать построение графиков функций, отмечать особенности построения. Выделением цвета можно облегчить запоминание понятий, свойств, особенностей решения математических задач. Применение наглядности дает возможность повысить эффективность урока, быстрее достичь учебных целей.
Демонстрация начинается с напоминание особенностей показательной функции. Рассматривается пример показательного уравнения 3 х =8. Определяются координаты точек, принадлежащих графику этой функции. Эти координаты заносятся в таблицу. По координатам строится график функции. Также отмечается, что решением уравнения будет пересечение графиков функций у=3 х и у=8.На рисунке построены данные графики.
На втором слайде вводится понятие логарифма log a - логарифма по основанию а. Понятие обведено рамкой и отмечено как важное и требующее запоминания. На следующем слайде демонстрируется показательное уравнение, рассмотренное в начале презентации, и раскрывается связь между показательным уравнением 3 х =8 и понятием логарифма, так как в данном уравнении х - это логарифм от 8 по основанию 3. После введения понятия и объясняющего примера ученикам представляется определение логарифма. На слайде 4 представляется определение, в котором указано, что логарифмом положительного bпо положительному основанию, не равному 1, называется показатель степени, в которую возводится а для получения числа b. Определение заключено в рамку, выделено цветом и рекомендовано для запоминания.
На слайде 5 рассматриваются примеры вычисления логарифмов чисел. Определяются значения логарифмов log 3 27=3, log 2 (1/64)=-6, log 1/9 81=-2, log 16 4=1/2. Рядом с каждым примером демонстрируется, как при возведении основания логарифма в его значение получается число, от которого вычислялся логарифм. В результате такого рассмотрения сути логарифма становится понятным, как формируется значение логарифма.
На слайде 6 рассматриваются простейшие случаи вычисления логарифма, отражающие некоторые его свойства. В первом определяется логарифм log а а=1, log а 1=0, log а m=m. Каждый пример проверяется возведением основания логарифма в нужную степень. На слайде 7 отмечается, что число log 3 8 является иррациональным. Доказательство этого утверждения проверяется на слайде 8. Выполняется доказательство от противного.
Предполагается, что log 3 8 является рациональным числом. Это значит, что решение логарифма можно представить в виде обыкновенной дроби m/n.
То есть 3 m / n =8. При возведении обеих частей уравнения получаем уравнение (3 m / n) n =8 n . Следовательно, получаем противоречие 3 m =8 n . Утверждение доказано.
На слайде 9 представлено важное свойство логарифма а log а B =b. Для подтверждения данного правила на слайде 10 приводятся примеры 4^ log 4 5=5, 0,2^ log 0,2 7=7, 13^ log 13 56=56. Чтобы лучше понять процесс логарифмирования, представляется таблица, в левой части которой выполняется возведение в степень, а в правой части выполняется операция, обратная возведению в степень - логарифмирование. Представлены три примеры логарифмирования log 6 36=2, log 10 10000=4, log 0,2 0,00032=5.
Далее рассматривается пример вычисления выражения, в котором содержится логарифм log 1/15 (225 3 √15). Чтобы найти значение выражения, оно принимается за х. В соответствием с определением логарифма, (1/15) х =225 3 √15. Приводим обе части к виду, чтобы основание степени в правой и левой части уравнения были одинаковыми 15 -х =15 2 ·15 1/3 . Применив знания о свойствах степени, упрощаем выражение 15 -х =15 2+1/3 . Вычисление логарифма свелось к решению уравнения -х=7/3. Из него находим решение х=-7/3.
В примере 2 требуется вычислить значение логарифма log 0,5 1/4√2. Аналогично предыдущему примеру, сначала применяем знание о логарифме. Вводим переменную у= log 0,5 1/4√2. Из данного уравнения получаем (0,5) у =1/4√2. Приводим обе части уравнения к виду степени с одинаковым основанием (1/2) у =(1/2) 5/2 . Из данного уравнения извлекаем решение у=2,5.
Далее вводится понятие десятичного логарифма. В рамке выделено, что логарифм с основанием 10 является десятичным логарифмом и в математике обозначается log 10 х= lgх. На последнем слайде приводится пример записи десятичного логарифма log 10 1000= lg1000.
Презентация «Понятие логарифма» рекомендуется для применения на школьном уроке алгебры для повышения его эффективности. Также данное наглядное пособие может быть полезно учителю, осуществляющему дистанционное обучение. Материал может быть рекомендован для самостоятельного рассмотрения учениками, которые недостаточно хорошо усвоили тему на уроке или требуют дополнительных занятий.
ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)
Шотландский математик –
изобретатель логарифмов.
В 1590-х годах пришел к идее
логарифмических вычислений
и составил первые таблицы
логарифмов, однако свой знаменитый
труд “Описание удивительных таблиц логарифмов” опубликовал лишь в 1614 году.
Ему принадлежит определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов, синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.
Из истории логарифмов
- Логарифмы появились 350 лет назад в связи с потребностями вычислительной практики.
- В те времена для решения задач астрономии и мореплавания приходилось производить весьма громоздкие вычисления.
- Известный астроном Иоганн Кеплер первым ввел в1624 году знак логарифма – log. Он применил логарифмы для нахождения орбиты Марса.
- Слово « логарифм» - греческого происхождения, что в переводе означает – отношение чисел
0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b. " width="640"
Определение
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.
Вычислить:
log 2 16; log 2 64; log 2 2;
log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);
log 3 27; log 3 81; log 3 3;
log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);
log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;
Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.
Основное логарифмическое тождество
По определению логарифма
Вычислите:
3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;
5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;
10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;
8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .
3 X X X R Не существует ни при каком х " width="640"
При каких значениях х существует логарифм
Не существует ни при
каком х
1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
log a (bc) = log a b + log a c
( b
c )
a log a (bc) =
a log a b
= a log a b + log a c
a log a c
a log a b
a log a c
1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. log a (bc) = log a b + log a c
Пример:
log a
= log a b - log a c
= a log a b - log a c
a log a b
a log a
a log a c
b = a log a b
c = a log a c
0; a ≠ 1; b 0; c 0. Пример: 1 " width="640"
2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
log a
= log a b – log a c,
a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.
Пример:
0; b 0; r R log a b r = r log a b Пример a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r " width="640"
3. Логарифм степени с положительным основанием равен показателю степени, умноженному на логарифм основания
log a b r = r log a b
Пример
a log a b =b
(a log a b ) r =b r
a rlog a b =b r
Формула перехода от одного основания
логарифма к другому, примеры.
Изобретатель логарифма
Слайдов: 17 Слов: 1601 Звуков: 0 Эффектов: 90Логарифмы и их свойства. Возведение в степень имеет два обратных действия. Для чего были придуманы логарифмы? Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Орпеделение. Правильное решение примеров. Определение логарифма можно записать так: a log a b = b. Основное логарифмическое тождество. Правильное выполнение некоторых заданий. Примеры выполнения некоторых заданий. - Логарифм.ppt
Логарифмические функции
Слайдов: 21 Слов: 408 Звуков: 23 Эффектов: 88Логарифмическая функция. Понятие логарифма. Графики логарифмических функций. Свойства логарифмов. Решение логарифмических уравнений. Решение логарифмический неравенств. В зависимости от значения основания приняты два обозначения. Если основанием является 10, то вместо log10 x пишут lg x. Число е есть предел, к которому стремится при неограниченном возрастании n. Свойства функции. Логарифм произведения. Логарифм частного. Логарифм степени. Логарифм корня. Переход от одного показателя к другому. Свойства натуральных логарифмов. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. - Логарифмы.ppt
Урок Логарифмы
Слайдов: 21 Слов: 357 Звуков: 0 Эффектов: 0Урок обобщение по теме «Логарифмы». Ход урока. Дайте определение логарифма. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени. Устный тест - опрос. Компьютерная самостоятельная работа. Сообщения учащихся. Презентация «История логарифмов» Сообщение «О логарифмах и логарифмической линейке». Логарифмическая диковинка. Вычислите: Решение: Воспользуемся редко используемым свойством Ответ: 1. Самостоятельная работа. Таблица кодов: Таблица ответов: Головоломка. Решение. Общее решение. N раз. Электронный тест. Логарифмическая комедия. Заменим каждую дробь степенью с основанием. - Урок Логарифмы.ppt
Понятие логарифма
Слайдов: 15 Слов: 648 Звуков: 0 Эффектов: 140Понятие логарифма. Тема. Найдите значение выражения. Решим графически уравнение. Строим два графика функции. Определение. Основное логарифмическое тождество. Операцию вычисления логарифма часто называют логарифмированием. Логарифм числа b по основанию. Возведение в степень. Об истории развития логарифмов. Десятичные логарифмы до изобретения калькуляторов. - Понятие логарифма.ppsx
11 класс «Логарифм»
Слайдов: 42 Слов: 1341 Звуков: 0 Эффектов: 46Определение логарифма. Положительный корень уравнения. Решите уравнение. Логарифм с произвольным основанием. Основное логарифмическое тождество. Вычислите. Вычислите самостоятельно. Логарифмическая разминка. Немного истории. Первая логарифмическая линейка. Логарифмическая линейка. Ричард Деламейн. Роберт Биссакар. Логарифмические линейки получили второе рождение. Логарифмическая спираль. Гиперболическая спираль. Логарифмическая спираль является траекторией точки. Рене Декарт. Цветки в соцветиях подсолнечника. По логарифмическим спиралям выстраиваются рога. Живые существа. Раковины. - 11 класс «Логарифм».ppt
История логарифмов
Слайдов: 12 Слов: 1246 Звуков: 0 Эффектов: 70Из истории логарифмов. Развитие идеи логарифмов. Разложение ln. Основы учения о логарифмах. Изобретение логарифмов. Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Логарифмическая линейка. Историческая справка. Портретная галерея. Работы Архимеда. Леонард Эйлер. - История логарифмов.ppt
Свойства логарифмов
Слайдов: 10 Слов: 180 Звуков: 0 Эффектов: 0Счет и вычисления – основа порядка в голове. Иоганн Генрих Песталоцци. Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Если a>0 и a ?1, х > 0, у > 0, р? R, то: 2. Назовите основное логарифмическое тождество и вычислите: 2log25; П logП1,3; 32log34; 52+log53; 2lоg26 - 3; 3. Сформулируйте основные свойства логарифмов и вычислите: log618 + log62 ; log553 ; log318 – log32 ; log2 lg4 + lg25 ; 4. При каких значениях х существует log5x; log3(x-7) ? 5. Почему не имеют смысла выражения log15 ; log-381 ? - Свойства логарифмов.ppt
Логарифмы и их свойства
Слайдов: 17 Слов: 746 Звуков: 0 Эффектов: 0Повторить определение логарифма. Определение логарифма. История возникновения логарифмов. Таблицы логарифмов. Открытие логарифмов. Свойства степени. Вычислите. Проверьте. Свойства логарифмов. Применение изученного материала. Найдите вторую половину формулы. - Логарифмы и их свойства.ppt
Основные свойства логарифмов
Слайдов: 65 Слов: 2321 Звуков: 0 Эффектов: 9Логарифм. Нахождение равносильно решению уравнения. График двоичного логарифма. Логарифмирование и потенцирование. Джон Непер. Значение логарифмической функции. Действительный логарифм. Виды логарифмов. Свойства. Тождество. Свойства логарифмов. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания. Переход от одного основания к другому. Десятичный логарифм. Предшественники. Таблица логарифмов. Масштабный множитель. Основное свойство логарифма Непера. Дальнейшее развитие. Общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов. - Основные свойства логарифмов.pptx
Определение логарифма и его свойства
Слайдов: 18 Слов: 449 Звуков: 0 Эффектов: 18Аристотель. Логаифм. Музыка. Математика. Логарифмы. Собери определение. Показатель степени. Свойства логарифмов. Найди ошибки. Вычислите. Софизм. Логарифмический софизм. Aмериканский математик Морис Клайн. - Определение логарифма и его свойства.pptx
Применение логарифмов
Слайдов: 16 Слов: 1320 Звуков: 0 Эффектов: 14Творческий проект. Тема: «ЛОГАРИФМЫ В АСТРОНОМИИ». Аджигисиева Замира и Колдасова Люция. Иргаклы 2006. Содержание. Введение. Наибольшие проблемы возникали при выполнения операций умножения и деления. Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632). Звёзды, шум и логарифмы. Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда. - Применение логарифмов.ppt
Выражения с логарифмами
Слайдов: 43 Слов: 2135 Звуков: 1 Эффектов: 207Всё о логарифмах. Методы и приёмы решения логарифмических уравнений. Мини-экзамен. Функция. Свойства функции. Построение графиков. Изобразить график функции. График функции. Определение логарифма. Основные методы решения уравнений. Методы решения уравнений. Графический метод. Логарифмические уравнения. Потенцирование. Удовлетворяет всем условиям системы. Замена переменных. Логарифмирование. Прологарифмируем обе части. Логарифмические системы уравнений. Методы решения неравенств. Логарифмические неравенства. Замена переменной. Логарифмы на ЕГЭ. Найдите корень уравнения. Преобразуем числитель. - Выражения с логарифмами.ppt
Натуральный логарифм
Слайдов: 29 Слов: 375 Звуков: 0 Эффектов: 121Натуральные логарифмы. «Логарифмический дартс». Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом. Десятичные логарифмы для наших потребностей являются весьма удобными. Функция вида y=lnx, свойства и график. Составить уравнение касательной к графику функции y=lnx в точке x=e. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми y=0, x=1, x=e и гиперболой. - Натуральный логарифм.ppt
Десятичные и натуральные логарифмы
Слайдов: 19 Слов: 866 Звуков: 0 Эффектов: 74Десятичные и натуральные логарифмы. Свойства логарифмов. Значение выражений. Решите уравнение. Упростите выражение. Основания разные. Переход. Логарифм. Воспользуемся сначала свойством. Найдите значение выражения. Значение выражения. Николас Меркатор. Происхождение термина. Бернулли. Эйлер. Таблицы логарифмов. Задания. -